Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB tại E; DE vuông góc với AC tại F. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AD là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, D là trung điểm của BC. Khi đó, DE và DF là đường cao của tam giác AED và tam giác ADF. Vì vậy, tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

b) Ta có ME = DE (theo giả thiết). Vì DE vuông góc với AB, nên tam giác ADE vuông tại E. Do đó, góc AED = 90 độ. Mà tứ giác AEDF là hình chữ nhật (theo câu a), nên góc ADF = 90 độ. Vậy, tứ giác ADFM là hình chữ nhật. Từ đó, ta có góc ADM = 90 độ. Mà AD là đường cao của tam giác ABC, nên góc ADB = 90 độ. Vậy, tứ giác ADBM là hình thoi.

c) Gọi G là giao điểm của tia đối của tia FD và tia DE. Ta có FG là đường cao của tam giác ADF và cũng là đường trung bình của tam giác ADF. Do đó, F là trung điểm của AG. Tương tự, ta có FN là đường cao của tam giác ADF và cũng là đường trung bình của tam giác ADF. Do đó, F là trung điểm của AN. Vậy, A là trung điểm của đoạn thẳng MN.