Cho tam giác ABC, đường cao AD trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại E, F. Chứng minh rằng A, E, H, F cùng thuộc 1 đường tròn

a) Ta có:
$\angle BAC = \angle BHC = 90^\circ$ (do AD là đường cao của tam giác ABC)
$\angle BHE = \angle BAC$ (cùng nằm trên cùng một cung BH)
$\angle CHF = \angle BAC$ (cùng nằm trên cùng một cung CH)
Vậy ta có $\angle BHE = \angle CHF$, suy ra A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
$\angle EHD = \angle EHA + \angle AHD = \angle EBA + \angle ACD = \angle EBC + \angle ACB = \angle EAC$
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A, E, H, F.

c) Ta có:
$AD^2 = AH \cdot HD$
$9^2 = AH \cdot HD$
$81 = AH \cdot HD$
Vậy DH = 9 cm.