Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA. D là điểm nằm trên đường tròn (H). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB và DC. Gọi E là giao điểm của DH và đường tròn (H). Chứng minh rằng.Tứ giác ECDB nội tiếp

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AH là đường trung trực của BC. Vì vậy, ta có AH là đường phân giác của góc BAC.

Gọi I là giao điểm của DB và AC. Ta có tam giác AID cân tại I (vì AI = ID) và góc AID = góc BAC/2 = góc AHI. Vậy tam giác AHI cũng là tam giác cân.

Do đó, ta có AH = HI và góc AHI = góc AIH.

Vì H là tâm đường tròn (H) nên HA = HE.

Từ đó, ta có HA = HE = HI.

Vậy tam giác EHI cũng là tam giác cân và góc EHI = góc EIH.

Như vậy, ta có góc EHI = góc EIH = góc AHI = góc AIH.

Vậy tứ giác ECDB là tứ giác nội tiếp.

b) Ta đã chứng minh được tứ giác ECDB là tứ giác nội tiếp.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDB.

Ta có góc EOD = 2 * góc ECD (do ECDB là tứ giác nội tiếp) = 2 * góc EBD (do ECDB là tứ giác nội tiếp) = góc EHD (do EBDH là tứ giác nội tiếp).

Vậy ta có góc EOD = góc EHD.

Như vậy, ta có tứ giác EODH là tứ giác nội tiếp.

Vậy 4 điểm D, O, H, E cùng thuộc một đường tròn.

Gọi P là giao điểm của DM và ON.

Ta có MP = DP (do M là trung điểm của DB) và NP = CP (do N là trung điểm của DC).

Vậy ta có MP = NP.

Từ đó, ta có góc MNP = góc MPN.

Như vậy, ta có tứ giác MNP là tứ giác cân.

Vậy ta có góc MNP = góc MPN = góc MON.

Vậy 4 điểm D, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.