Cho các số thực không âm x,y thoả mãn x+y=2, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x√y+1+y√x+1

Ta có x + y = 2, suy ra y = 2 - x.
Thay y vào biểu thức P, ta được:
P = x√(2 - x) + 1 + (2 - x)√x + 1
= x√(2 - x) + (2 - x)√x + 2
= √x(2 - x) + (2 - x)√x + 2
= 2√x - x√x + 2 - x√x + 2
= 4 - 2x√x + 2√x
= 6 - 2x√x
Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm giá trị lớn nhất của 2x√x.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2x√x ≤ x + x√x
= x(1 + √x)
= x + x√x
= 2 - y + (2 - y)√(2 - y)
= 2 - y + (2 - y)√(2 - y)
= 2 - y + 2√(2 - y) - y√(2 - y)
= 4 - 2y + 2√(2 - y) - y√(2 - y)
= 6 - 2y + 2√(2 - y)
= P
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6.