Cho hình thang abcd có ab//cd

Để chứng minh 3 điểm D, O, K thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng vectơ DO và vectơ DK cùng phương.

Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Ta có:
AM = MC (vì M là trung điểm của CD)
AM // BC (vì AB // CD)
Vậy, ta có tứ giác ABMC là hình bình hành.

Gọi N là trung điểm của cạnh AB. Ta có:
DN = NC (vì N là trung điểm của AB)
DN // BC (vì AB // CD)
Vậy, ta có tứ giác DNMC là hình bình hành.

Do đó, ta có tứ giác ABNM là hình bình hành.

Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Ta có:
AH = HC (vì H là trung điểm của BC)
AH // AB (vì AB // CD)
Vậy, ta có tứ giác ABHC là hình bình hành.

Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Ta có:
BP = PC (vì P là trung điểm của AD)
BP // AB (vì AB // CD)
Vậy, ta có tứ giác BPAC là hình bình hành.

Từ các hình bình hành trên, ta có:
AM = MC = DN = NC = AH = HC = BP = PC

Gọi G là trung điểm của cạnh EF. Ta có:
DG = GC (vì G là trung điểm của EF)
DG // DE (vì DE = EF)
Vậy, ta có tứ giác DEGC là hình bình hành.

Gọi Q là trung điểm của cạnh EF. Ta có:
FQ = QC (vì Q là trung điểm của EF)
FQ // DE (vì DE = EF)
Vậy, ta có tứ giác FQED là hình bình hành.

Từ các hình bình hành trên, ta có:
DG = GC = FQ = QC

Do đó, ta có:
DG = GC = FQ = QC = 1/2 DE = 1/2 EF = 1/2 FC

Gọi L là trung điểm của cạnh FC. Ta có:
KL = LC (vì L là trung điểm của FC)
KL // BC (vì BC // KL)
Vậy, ta có tứ giác BKLC là hình bình hành.

Từ đó, ta có:
BK = KL = LC = 1/3 BC

Vậy, ta có:
BK = 1/3 BC
DK = 1/4 BC

Ta có:
DK = 1/4 BC = 1/4 (BK + KC) = 1/4 (BK + KL) = 1/4 (BK + BK) = 1/2 BK

Vậy, ta có:
DK = 1/2 BK

Do đó, vectơ DO và vectơ DK cùng phương.

Vậy, ta có 3 điểm D, O, K thẳng hàng.