Để kiểm tra xem B có phải là bội của 6 và 31 hay không, ta cần kiểm tra xem B có chia hết cho cả 6 và 31 hay không.

Đầu tiên, ta tính tổng của dãy số 5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^101.

Ta biết rằng tổng của dãy số hình học có công bội a và số hạng đầu tiên là 1 được tính bằng công thức:

S = (a^(n+1) - 1) / (a - 1)

Áp dụng công thức này vào dãy số 5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^101, ta có:

S = (5^(101+1) - 1) / (5 - 1)
= (5^102 - 1) / 4

Tiếp theo, ta kiểm tra xem B có chia hết cho 6 hay không. Để B chia hết cho 6, tổng của dãy số 5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^101 cũng phải chia hết cho 6.

Để kiểm tra điều này, ta xem xét tổng S modulo 6:

S mod 6 = ((5^102 - 1) / 4) mod 6

Ta biết rằng (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n. Áp dụng công thức này vào tổng S mod 6, ta có:

S mod 6 = ((5^102 mod 6) - 1 mod 6) / 4 mod 6

Ta tính giá trị của 5^102 mod 6:

5^1 mod 6 = 5 mod 6 = 5
5^2 mod 6 = (5^1 mod 6 * 5^1 mod 6) mod 6 = (5 * 5) mod 6 = 25 mod 6 = 1 mod 6 = 1
5^3 mod 6 = (5^2 mod 6 * 5^1 mod 6) mod 6 = (1 * 5) mod 6 = 5 mod 6 = 5
5^4 mod 6 = (5^3 mod 6 * 5^1 mod 6) mod 6 = (5 * 5) mod 6 = 25 mod 6 = 1 mod 6 = 1

Ta thấy rằng chu kỳ của dãy số 5^1, 5^2, 5^3, 5^4 mod 6 là 5, 1, 5, 1. Vì vậy, 5^102 mod 6 = 5^2 mod 6 = 1 mod 6 = 1.

Tiếp theo, ta tính giá trị của (1 mod 6 - 1 mod 6) / 4 mod 6:

(1 mod 6 - 1 mod 6) / 4 mod 6 = 0 / 4 mod 6 = 0 mod 6 = 0

Vậy, tổng S mod 6 = 0, tức là tổng của dãy số 5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^101 chia hết cho 6.

Tiếp theo, ta kiểm tra xem B có chia hết cho 31 hay không. Để B chia hết cho 31, tổng của dãy số 5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^101 cũng phải chia hết cho 31.

Để kiểm tra điều này, ta xem xét tổng S modulo 31:

S mod 31 = ((5^102 - 1) / 4) mod 31

Ta tính giá trị của 5^102 mod 31:

5^1 mod 31 = 5 mod 31 = 5
5^2 mod 31 = (5^1 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (5 * 5) mod 31 = 25 mod 31 = 25
5^3 mod 31 = (5^2 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (25 * 5) mod 31 = 125 mod 31 = 2 mod 31 = 2
5^4 mod 31 = (5^3 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (2 * 5) mod 31 = 10 mod 31 = 10
5^5 mod 31 = (5^4 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (10 * 5) mod 31 = 50 mod 31 = 19 mod 31 = 19
5^6 mod 31 = (5^5 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (19 * 5) mod 31 = 95 mod 31 = 3 mod 31 = 3
5^7 mod 31 = (5^6 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (3 * 5) mod 31 = 15 mod 31 = 15
5^8 mod 31 = (5^7 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (15 * 5) mod 31 = 75 mod 31 = 13 mod 31 = 13
5^9 mod 31 = (5^8 mod 31 * 5^1 mod 31) mod 31 = (13 * 5) mod 31 = 65 mod 31 = 3 mod 31 = 3

Ta thấy rằng chu kỳ của dãy số 5^1, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6, 5^7, 5^8, 5^9 mod 31 là 5, 25, 2, 10, 19, 3, 15, 13, 3. Vì vậy, 5^102 mod 31 = 5^2 mod 31 = 25 mod 31 = 25.

Tiếp theo, ta tính giá trị của (25 mod 31 - 1 mod 31) / 4 mod 31:

(25 mod 31 - 1 mod 31) / 4 mod 31 = 24 / 4 mod 31 = 6 mod 31 = 6

Vậy, tổng S mod 31 = 6, tức là tổng của dãy số 5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^101 không chia hết cho 31.

Vậy, B không phải là bội của cả 6 và 31.