Chứng minh

a) Ta có:
- Trong tam giác AOB vuông tại O, ta có: AO^2 + OB^2 = AB^2 (theo định lý Pythagoras)
- Trong tam giác BOC vuông tại O, ta có: BO^2 + OC^2 = BC^2 (theo định lý Pythagoras)
- Vì AB = 4cm, BC = 3cm, nên ta có: AO^2 + OB^2 = 4^2 = 16 và BO^2 + OC^2 = 3^2 = 9
- Từ đó suy ra: AO^2 + OB^2 + BO^2 + OC^2 = 16 + 9 = 25
- Nhưng ta cũng có: AO^2 + OB^2 + BO^2 + OC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
- Vậy, ta có: AO^2 + OB^2 + BO^2 + OC^2 = AB^2 + BC^2
- Do đó, theo định lý Pythagoras, ta có: AC^2 = AO^2 + OC^2 = AB^2 + BC^2
- Vì AB = 4cm, BC = 3cm, nên ta có: AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
- Từ đó suy ra: AC = √25 = 5cm
- Vậy, độ dài đoạn thẳng BD là 5cm và độ dài đoạn thẳng AO là 5cm.

b) Ta có:
- Vì AH vuông góc BD, nên ta có: AH // BD
- Vì M là trung điểm của AH, nên ta có: BM // AH
- Vì N là trung điểm của DH, nên ta có: DN // DH
- Vì K là trung điểm của BC, nên ta có: BK // BC
- Vì AH // BD và BM // AH, nên ta có: BM // BD
- Vậy, ta có: BM // BD và BM // KN
- Do đó, ta có: MN = BK

c) Ta có:
- Vì AH vuông góc BD, nên ta có: AH ⊥ BD
- Vì AH ⊥ BD và AH // BC, nên ta có: BD ⊥ BC
- Vì BD ⊥ BC và AN ⊥ BC, nên ta có: AN ⊥ BD
- Vậy, ta có: AN ⊥ BD và AN ⊥ BC
- Do đó, ta có: AN ⊥ BD và AN ⊥ BC
- Vậy, ta có: ANK = 90 o.