Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH, CK vuông góc với BD

a) Ta có AH ⊥ BD và CK ⊥ BD, nên DH ⊥ BD và BK ⊥ BD. Vậy DH = BK.

b) Ta có AH ⊥ BD và CK ⊥ BD, nên AH // CK. Tương tự, ta có CK ⊥ BD và AH ⊥ BD, nên CK // AH. Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

c) Ta có AE // BD (do A và E là hai điểm đối xứng qua H), nên góc AED = góc BDC. Tương tự, ta có DE // BC (do A và E là hai điểm đối xứng qua H), nên góc DEC = góc BCD. Vậy tứ giác DECB là hình thang cân.

d) Ta có AE // BD (do A và E là hai điểm đối xứng qua H), nên góc AED = góc BDC. Tương tự, ta có DE // BC (do A và E là hai điểm đối xứng qua H), nên góc DEC = góc BCD. Vậy tứ giác DECB là hình thang cân.

Gọi Q là giao điểm của AC và EK. Ta cần chứng minh P, H, Q thẳng hàng.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ACE và đường thẳng EKP, ta có:

(AP / PC) * (CE / EA) * (KQ / QP) = 1

Vì AE = EC (do A và E là hai điểm đối xứng qua H), nên CE / EA = 1.

Vậy (AP / PC) * (KQ / QP) = 1.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ACP và đường thẳng EKH, ta có:

(AK / KP) * (PH / HC) * (CE / EA) = 1

Vì AE = EC (do A và E là hai điểm đối xứng qua H), nên CE / EA = 1.

Vậy (AK / KP) * (PH / HC) = 1.

Từ hai phương trình trên, ta có:

(AP / PC) * (KQ / QP) = (AK / KP) * (PH / HC)

Vậy theo định lí Menelaus, ta có AC, EK, PH đồng quy.