Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC. Dựng MH vuông góc với AC tại H, MI vuông góc với AB tại I

a) Chứng minh AIMH là hình chữ nhật:

Ta có:
- AM là đường trung bình của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC và cắt BC ở trung điểm M.
- MH vuông góc với AC và MI vuông góc với AB.

Vậy, ta có AIMH là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.

b) Điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AIMH là hình vuông:

Để tứ giác AIMH là hình vuông, ta cần và đủ điều kiện sau:
- AIMH là hình chữ nhật (theo câu a).
- AI = MH (hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau).

Ta có:
- AI = AM + MI (theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AIM).
- MH = MA + AH (theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AMH).

Vậy, ta cần và đủ điều kiện sau:
- AM + MI = MA + AH.