Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học tam giác và đường tròn. Dưới đây là cách giải từng phần của bài toán:

a) Để chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.

Ta biết rằng trong một tam giác, đường cao chia tam giác thành hai tam giác nhỏ hơn có tổng các góc bằng 90 độ. Vì vậy, ta có:
\(\angle BDC + \angle BEC = 90^\circ\)

Tương tự, ta có:
\(\angle BAC + \angle BDC + \angle BEC = 180^\circ\)

Nhưng \(\angle BAC\) là góc nhọn trong tam giác ABC, vì vậy \(\angle BDC + \angle BEC = 90^\circ\)

Do đó, tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp và 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Để xác định tâm O và vẽ đường tròn đó, ta lấy đường trung trực của đoạn thẳng BC và DE. Giao điểm của hai đường trung trực này là tâm O. Vẽ đường tròn tâm O đi qua các điểm B, C, D, E.

b) Để chứng minh EK song song với AH, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng.

Vì tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp, nên ta có:
\(\angle BDC = \angle BEC\)

Vì BD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
\(\angle BDC = \angle BAC\)

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:
\(\angle BEC = \angle BAC\)

Do đó, tam giác BEC đồng dạng với tam giác BAC.

Vì vậy, ta có:
\(\angle EKB = \angle BAH\)

Nhưng \(\angle BAH\) là góc vuông, nên \(\angle EKB\) cũng là góc vuông.

Do đó, EK song song với AH.

c) Để chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường tròn nội tiếp.

Vì EK song song với AH, nên ta có:
\(\angle EKB = \angle BAH = 90^\circ\)

Vì tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp, nên ta có:
\(\angle BDC = \angle BEC\)

Vì \(\angle BDC\) là góc vuông, nên \(\angle BEC\) cũng là góc vuông.

Do đó, tam giác BEC là tam giác vuông tại E.

Vì vậy, ta có:
\(\angle EBC = \angle ECB = 90^\circ\)

Vì tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp, nên ta có:
\(\angle BCD = \angle BED\)

Nhưng \(\angle BCD\) là góc vuông, nên \(\angle BED\) cũng là góc vuông.

Do đó, tam giác BED là tam giác vuông tại E.

Vì vậy, ta có:
\(\angle EBD = \angle EDB = 90^\circ\)

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:
\(\angle EBD = \angle EDB = 90^\circ\)

Vậy, ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).