Để chứng minh số tự nhiên n là số lẻ chia 3 dư 1 và n^2-1 chia hết cho 6, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh qua các bước sau:

Bước 1: Chứng minh n là số lẻ.
Giả sử n là số chẵn, tức là n = 2k với k là số tự nhiên.
Thay n = 2k vào điều kiện n chia 3 dư 1, ta có:
2k ≡ 1 (mod 3)
Nhưng 2k không thể chia 3 dư 1, vì 2k chỉ có thể chia 3 dư 0 hoặc 2.
Vậy giả thuyết n là số chẵn là sai, suy ra n là số lẻ.

Bước 2: Chứng minh n^2-1 chia hết cho 6.
Thay n = 2k+1 vào biểu thức n^2-1, ta có:
n^2-1 = (2k+1)^2 - 1
= 4k^2 + 4k + 1 - 1
= 4k(k+1)
Vì k và k+1 luôn có một số chẵn và một số lẻ, nên k(k+1) chia hết cho 2.
Do đó, 4k(k+1) chia hết cho 2*4 = 8.
Vậy n^2-1 chia hết cho 8.
Tuy nhiên, ta cũng cần chứng minh n^2-1 chia hết cho 3.
Ta biết rằng n là số lẻ chia 3 dư 1, tức là n = 3m + 1 với m là số tự nhiên.
Thay n = 3m + 1 vào biểu thức n^2-1, ta có:
n^2-1 = (3m+1)^2 - 1
= 9m^2 + 6m + 1 - 1
= 9m^2 + 6m
= 3m(3m+2)
Vì m và 3m+2 luôn có một số chẵn và một số lẻ, nên m(3m+2) chia hết cho 2.
Do đó, 3m(3m+2) chia hết cho 2*3 = 6.
Vậy n^2-1 chia hết cho 6.

Từ hai bước chứng minh trên, ta kết luận rằng số tự nhiên n là số lẻ chia 3 dư 1 và n^2-1 chia hết cho 6.