Cho nửa (O), đường kính MN = 2R và dây MP = R

a, Ta có MN = 2R và MP = R. Vì MP là đường kính của đường tròn (O), nên tam giác MNP là tam giác vuông tại M.

b, Để giải tam giác MNP, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MNP:
MN^2 = MP^2 + NP^2
(2R)^2 = R^2 + NP^2
4R^2 = R^2 + NP^2
3R^2 = NP^2
NP = √(3R^2) = R√3

Vậy, NP = R√3.

c, Gọi E là trung điểm của NP. Ta cần chứng minh FP là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vì E là trung điểm của NP, nên NE = EP = R/2.

Qua N vẽ tiếp tuyến Nx với đường tròn (O). Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến Nx và đường tròn (O).

Theo định lý về tiếp tuyến và tiếp điểm chung, ta có NE ⊥ Nx và NP ⊥ Nx.

Vì NE ⊥ Nx, nên NE là đường cao của tam giác NFP. Từ đó, ta có NF = 2NE = R.

Vì NP ⊥ Nx, nên NP là đường phân giác của góc NFP. Từ đó, ta có ∠NFP = ∠NFE = 90°.

Vậy, FP là tiếp tuyến của đường tròn (O).