a) Tứ giác ADME là tứ giác điều hòa.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh tứ giác ADME là tứ giác điều hòa, tức là tỉ số của các cặp cạnh liên tiếp bằng nhau.

Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí đường cao, ta có AD là đường cao của tam giác ABC.
- M là một điểm bất kì trên cạnh huyền BC, nên ta có BM = MC.

Áp dụng định lí đường cao trong tam giác vuông ABC, ta có:
AD/DM = AB/BM
AD/DM = AB/MC

Tương tự, áp dụng định lí đường cao trong tam giác vuông AEC, ta có:
AE/EM = AC/CM
AE/EM = AC/BM

Từ hai phương trình trên, ta có:
AD/DM = AE/EM

Vậy tứ giác ADME là tứ giác điều hòa.

b) Ta có AD = AI và ME = MK (theo định nghĩa của điểm I và K).

Ta cần chứng minh EI = DK và EI//DK.

Áp dụng định lí đường cao trong tam giác vuông ABC, ta có:
AD/DM = AB/BM
AD/DM = AB/MC

Tương tự, áp dụng định lí đường cao trong tam giác vuông AEC, ta có:
AE/EM = AC/CM
AE/EM = AC/BM

Từ hai phương trình trên, ta có:
AD/DM = AE/EM

Vậy tứ giác ADME là tứ giác điều hòa.

Do đó, ta có:
AD/DM = AE/EM = AI/IM = AK/KM

Từ đó, ta suy ra:
EI = DK và EI//DK.