A) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH là đường trung trực của BC. Vì M là trung điểm của AC nên AM cắt BC tại N sao cho MN = NC. Khi đó, ta có:
- Tam giác AMN là tam giác đều với MN = MA = NA.
- Tam giác MHC là tam giác vuông cân tại M, nên MH = MC.
Vậy, ta có MA = NA, MH = MC và MN = NC, từ đó suy ra tứ giác ADCH là hình chữ nhật.

B) Ta có:
- Đường cao AH là đường trung trực của BC, nên AH cắt BC tại I sao cho BI = IC.
- Đường cao AH cắt tia đối của tia MH tại D, ta cần chứng minh MD = MH.
Ta có:
- Tam giác MHC là tam giác vuông cân tại M, nên MH = MC.
- Tam giác MIB là tam giác vuông cân tại I, nên MI = MB.
Vậy, ta có MH = MC = MI = MB.
Do đó, tứ giác MCHB là hình vuông.
- Ta có tứ giác ADCH là hình chữ nhật (chứng minh ở câu A), nên AH vuông góc với DC.
- Tứ giác MCHB là hình vuông, nên MH vuông góc với BC.
Vậy, ta có MH vuông góc với cả DC và BC, nên MH vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ADH.
Do đó, MD cũng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ADH.
Vậy, tam giác ADHE là hình bình hành.