a/ Chứng minh AN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Gọi I là giao điểm của AN và đường tròn (O). Ta cần chứng minh I = N.

Ta có: ∠MAN = 90° (vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M)

Mà ∠MAN = ∠MIN (vì MI = IN = R)

=> ∠MIN = 90° => I = N (vì N là hình chiếu của M trên đường thẳng AN)

Vậy AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N.

b/ Vẽ đường kính ND. Chứng minh MD // AO

Ta có: ∠NMD = 90° (vì MN là dây, ND là đường kính của đường tròn (O))

Mà ∠NMD = ∠NAO (vì ∠NAO = 90° - ∠MAN = 90° - 90° = 0°)

=> MD // AO (cùng chắn cung ND của đường tròn (O))

c/ Xác định vị trí điểm A để AMN đều và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

Để tam giác AMN đều thì ∠AMN = 60°. Mà ∠AMN = ∠AON = 60° => ∠MON = 120° (vì ∠MON = 180° - ∠AON)

Vậy A là điểm đối xứng của M qua đường thẳng ON.

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Ta có:

R = AM / 2sin∠MAN = 2R / 2sin60° = 2R / √3 = 2R√3 / 3

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là 2R√3 / 3.