Từ điểm M năm ngoài (O), kẻ tiếp tuyến MA với (O) (A là tiếp điểm)

Để chứng minh các câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc sau:
1. Định lý tiếp tuyến chung: Nếu hai đường tròn có một tiếp tuyến chung, thì giao điểm của tiếp tuyến đó với các tiếp tuyến khác cũng là tiếp điểm của hai đường tròn đó.
2. Định lý góc nội tiếp: Góc nội tiếp tại một tiếp điểm trên đường tròn bằng một nửa góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại tiếp điểm đó.
3. Định lý góc vuông: Góc tạo bởi một tiếp tuyến và đường kính tại một điểm trên đường tròn là góc vuông.
4. Định lý cung cấp: Nếu hai tam giác có hai cạnh bằng nhau và một góc bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.
5. Định lý hình vuông: Trong một hình vuông, đường chéo chia góc thành hai góc bằng nhau.

Giải thích từng câu hỏi:
1. Ta có góc OMA = 90 độ (do MA là tiếp tuyến với (O)), góc OHA = 90 độ (do AH là đường thẳng vuông góc với OM). Vì vậy, tứ giác OMHA là hình chữ nhật. Do đó, OH = AM và OA = HM. Khi đó, ta có góc OAH = góc OMA (do hai góc đó là góc nội tiếp tại tiếp điểm A trên đường tròn (O)). Từ đó, ta suy ra tứ giác OAHM là tứ giác nội tiếp. Do đó, bốn điểm E, H, O, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Ta có góc OAH = góc OMA (do hai góc đó là góc nội tiếp tại tiếp điểm A trên đường tròn (O)). Vì tứ giác OAHM là hình chữ nhật, nên góc OAH = góc OMA = 90 độ. Từ đó, ta suy ra góc OAM = góc OMA = 90 độ. Khi đó, ta có góc OAM = góc OMA = góc A (do AM là tiếp tuyến với (O)). Vậy, ta có AAMB cân.
3. Ta có góc OAH = góc OMA (do hai góc đó là góc nội tiếp tại tiếp điểm A trên đường tròn (O)). Vì tứ giác OAHM là hình chữ nhật, nên góc OAH = góc OMA = 90 độ. Khi đó, ta có góc OAM = góc OMA = 90 độ. Từ đó, ta suy ra góc OAM = góc OMA = góc A (do AM là tiếp tuyến với (O)). Vậy, ta có AAMB cân. Do đó, ta có AM = MB. Vì tứ giác OAHM là hình chữ nhật, nên OA = HM. Khi đó, ta có OA = HM = MB. Từ đó, ta suy ra tứ giác OABM là hình vuông. Vì vậy, ta có góc OBM = 90 độ. Khi đó, ta có góc OBM = góc OMB = góc B (do BM là tiếp tuyến với (O)). Vậy, ta có góc OBM = góc OMB = góc B. Từ đó, ta suy ra tứ giác OBCM là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta có góc OCB = góc OMB (do hai góc đó là góc nội tiếp tại tiếp điểm B trên đường tròn (O)). Vì vậy, ta có góc OCB = góc OMB = góc B. Khi đó, ta có góc OCB = góc OBC = góc C (do BC là tiếp tuyến với (O)). Vậy, ta có góc OCB = góc OBC = góc C. Từ đó, ta suy ra tứ giác OBCA là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta có góc OCA = góc OBC (do hai góc đó là góc nội tiếp tại tiếp điểm C trên đường tròn (O)). Vì vậy, ta có góc OCA = góc OBC = góc C. Khi đó, ta có góc OCA = góc OAC = góc A (do AC là tiếp tuyến với (O)). Vậy, ta có góc OCA = góc OAC = góc A. Từ đó, ta suy ra tứ giác OACB là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta có góc OCB = góc OAC (do hai góc đó là góc nội tiếp tại tiếp điểm C trên đường tròn (O)). Vì vậy, ta có góc OCB = góc OAC. Từ đó, ta suy ra tứ giác OCB và OAC đồng dạng (do có hai góc bằng nhau và một cạnh bằng nhau). Vì vậy, ta có BC/BO = AC/AO. Từ đó, ta suy ra BC.BO = AC.AO.