a. Để chứng minh BECF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh BE vuông góc với CF và BE = CF. Vì ∆ABC cân tại A, nên đường cao AD cắt BC tại trung điểm M của BC. Do đó, ta có AM = MC. Vì D là trung điểm của EF, nên ta có DE || AB và DE = 2AD. Từ đó, ta có:
BE = BM - EM = AM - DE = MC - DE = CF
Vì BE = CF và BE vuông góc với CF, nên ta có BECF là hình chữ nhật.
b. Để chứng minh BH = BK, ta cần chứng minh ∆BHK là tam giác cân. Vì AD là đường cao của ∆ABC, nên ta có ∠BAH = ∠CAH và ∠BKH = ∠CKH. Từ đó, ta có:
∠BAH + ∠BKH = ∠CAH + ∠CKH = 90°
Vì ∆ABC cân tại A, nên ta có ∠BAC = ∠BCA. Từ đó, ta có:
∠BAH = ∠CAH và ∠BKH = ∠CKH
Vậy, ∆BHK là tam giác cân và BH = BK.
c. Để chứng minh AIBK là hình thang cân, ta cần chứng minh AI || BK và AI = BK. Vì AD là đường cao của ∆ABC, nên ta có ∠BAH = ∠CAH và ∠BKH = ∠CKH. Từ đó, ta có:
∠BAH + ∠BKH = ∠CAH + ∠CKH = 90°
Vì ∆ABC cân tại A, nên ta có ∠BAC = ∠BCA. Từ đó, ta có:
∠BAH = ∠CAH và ∠BKH = ∠CKH
Vậy, AI || BK và AI = BK.
Vậy, AIBK là hình thang cân.