Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phép tính đại số để tìm ra số thập phân và số tự nhiên ban đầu.

Gọi số tự nhiên ban đầu là x và số thập phân ban đầu là y.

Theo đề bài, khi cộng x với y, ta bỏ quên dấu phẩy ở số thập phân nên kết quả là 768. Ta có phép tính sau:

x + y = 768

Theo đề bài, kết quả đúng của phép tính là 514,56. Ta có phép tính sau:

x + y = 514,56

Để tìm ra x và y, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Trừ hai phương trình trên, ta có:

(x + y) - (x + y) = 768 - 514,56

0 = 253,44

Phương trình trên không có nghiệm, do đó không tồn tại số thập phân và số tự nhiên ban đầu thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Vậy, bài toán không có lời giải.