Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc nửa đường tròn (O). Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía đối với BC). Tiếp tuyến đường tròn (O) tại C cắt OK ở I, gọi H là giao điểm của AC và OI

a) Ta có:
∠OAC = ∠OCA (góc nội tiếp)
∠OAI = ∠OIA (góc nội tiếp)
Vậy ∆OAI có 2 góc bằng nhau nên là tam giác cân.
Do đó, AI là đường cao của tam giác OAC, nên AI là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có:
BC = 30cm
AB = 18cm
Vì OK || BA nên tam giác OAK và tam giác ABC đồng dạng.
Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
OA/OB = AK/AB
OA/OB = AK/18
OA = OB * (AK/18)
OA = 15 * (AK/18) (vì OB = BC/2 = 30/2 = 15)
OA = 5/2 * AK
Vậy AK = 2/5 * OA

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAK ta có:
OA^2 = OK^2 + AK^2
(5/2 * AK)^2 = OK^2 + AK^2
(25/4 * AK^2) = OK^2 + AK^2
(25/4 - 1) * AK^2 = OK^2
21/4 * AK^2 = OK^2
AK^2 = 4/21 * OK^2
AK = 2/√21 * OK

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAI ta có:
OI^2 = OA^2 + AI^2
OI^2 = (5/2 * AK)^2 + AI^2
OI^2 = (5/2 * 2/5 * OA)^2 + AI^2
OI^2 = (5/2 * 2/5 * 15)^2 + AI^2 (vì OA = 15)
OI^2 = 25/4 * 9 + AI^2
OI^2 = 225/4 + AI^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AIC ta có:
AI^2 = AC^2 - CI^2
AI^2 = AC^2 - (OI - OC)^2
AI^2 = AC^2 - (OI - BC)^2 (vì OC = BC)
AI^2 = AC^2 - (OI - 30)^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 18^2 + 30^2
AC^2 = 324 + 900
AC^2 = 1224

Thay các giá trị vào ta có:
OI^2 = 225/4 + AI^2
OI^2 = 225/4 + (AC^2 - (OI - 30)^2)
OI^2 = 225/4 + (1224 - (OI - 30)^2)
OI^2 = 225/4 + 1224 - (OI^2 - 60*OI + 900)
OI^2 = 225/4 + 1224 - OI^2 + 60*OI - 900
OI^2 - OI^2 + 60*OI = 225/4 + 1224 - 900
60*OI = 225/4 + 324
60*OI = 225/4 + 1296/4
60*OI = 1521/4
OI = (1521/4)/60
OI = 1521/240
OI = 6.3375 cm

Vậy OI = 6.3375 cm.

c) Ta có:
∠ACI = ∠OCI (góc nội tiếp)
∠CAI = ∠COI (góc nội tiếp)
Vậy ∆CAI có 2 góc bằng nhau nên là tam giác cân.
Do đó, CK là đường cao của tam giác ACI, nên CK là phân giác của góc ACI.