Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=4cm kẻ các tiếp tuyến Ax,By cùng với nửa đường tròn đối với AB vẽ bán kính OE bất kì

a) Ta có:
- Trong tam giác OAC, ta có: OA = OC (bán kính đường tròn) và góc OAC = góc OCA (do Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A).
- Trong tam giác OBD, ta có: OB = OD (bán kính đường tròn) và góc OBD = góc ODB (do By là tiếp tuyến của đường tròn tại B).
- Góc OAC = góc OBD (do Ax và By là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn).
Vậy tam giác OAC và tam giác OBD đồng dạng (theo góc).
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AC/BD = OA/OB = 1/1 = 1.
Từ đó suy ra: AC = BD.

b) Ta có:
- Góc COD là góc giữa 2 tiếp tuyến Ax và By.
- Góc giữa 2 tiếp tuyến tại điểm cắt bằng góc nửa đường tròn tương ứng.
Vậy góc COD = 1/2 * góc AOB = 1/2 * 180° = 90°.

c) Tứ giác EIOK là hình vuông.
- Ta có: góc EOA = góc EOB = 90° (góc vuông).
- Góc EOA = góc EIO + góc OIA (góc nội tiếp cùng cung).
- Góc EOB = góc EIK + góc OKB (góc nội tiếp cùng cung).
Vậy góc EIO = góc EIK = 90°.
Từ đó suy ra, tứ giác EIOK là hình vuông.

d) Tứ giác EIOK là hình vuông khi và chỉ khi bán kính OE vuông góc với đường thẳng AE và BE.