a) Ta có mn//bc và m là trung điểm của ab, suy ra mn=nc.
Vì mn//bc nên góc mnc = góc ncb (cùng chắn cung nc trên đường tròn (abc))
Vì m là trung điểm của ab nên góc mnc = góc mca (cùng chắn cung ma trên đường tròn (abc))
Vậy góc mca = góc ncb, suy ra mnci là hình bình hành.

b) Ta có mn//bc và m là trung điểm của ab, suy ra mn=nc.
Vì mn//bc nên góc mnc = góc ncb (cùng chắn cung nc trên đường tròn (abc))
Vậy i là tâm đối xứng của b và c qua m, suy ra i là tâm đối xứng của bc.

c) Ta có mn//bc và m là trung điểm của ab, suy ra mn=nc.
Vì mk=mi nên góc mki = góc mki (cùng chắn cung mk trên đường tròn (abc))
Vì mn//bc nên góc mki = góc nkc (cùng chắn cung nk trên đường tròn (abc))
Vậy mkci là tứ giác nội tiếp, suy ra ai//bk.

d) Ta có mn//bc và m là trung điểm của ab, suy ra mn=nc.
Vì mk=mi nên mk=nc/2.
Vậy ab=2.mk khi và chỉ khi ab=nc.