Cho A nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O; R) với B, C là tiếp điểm. BC giao với OA tại H

a) Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên theo tính chất của tiếp tuyến, góc AOB và góc AOC là góc vuông. Do đó, tứ giác OABC là tứ giác nội tiếp, nên bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc BOC là góc vuông. Khi đó, góc OHC là góc phụ của góc BOC, nên góc OHC cũng là góc vuông. Vậy ta có OH ⊥ BC.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Vì tứ giác OABC là tứ giác nội tiếp, nên góc OAB và góc OCA là góc phụ của góc AOB và góc AOC, nên góc OAB = góc OCA.

Do đó, tam giác OAB và tam giác OCA là hai tam giác cân tại O. Vậy ta có OA = OB và OA = OC.

Kết hợp với góc OAB = góc OCA, ta có tam giác OAB và tam giác OCA là hai tam giác đồng dạng (theo trường hợp đồng dạng cân-cân).

Do đó, ta có tỷ lệ giữa các cạnh của hai tam giác này là: OA/OB = OA/OC = AB/AC.

Vậy ta có OA/OB = OA/OC = AB/AC = 1.

Từ đó, ta suy ra OA = OB = OC = R.

Vậy ta có OA = OB = OC = R.

c) Gọi D là giao điểm của AD và (O). Ta có góc ADC là góc phụ của góc ABC, nên góc ADC = góc AOC.

Do đó, tam giác ADC và tam giác AOC là hai tam giác đồng dạng (theo trường hợp đồng dạng góc-góc).

Từ đó, ta có tỷ lệ giữa các cạnh của hai tam giác này là: AD/AC = AD/AO = CD/OC.

Vậy ta có AD/AC = AD/AO = CD/OC = 1.

Từ đó, ta suy ra AD = AC = OC.

Vậy ta có AD = AC = OC = R.

Gọi N là giao điểm của AD và (O) (N khác D). Ta có góc AND là góc phụ của góc ABC, nên góc AND = góc AOC.

Do đó, tam giác AND và tam giác AOC là hai tam giác đồng dạng (theo trường hợp đồng dạng góc-góc).

Từ đó, ta có tỷ lệ giữa các cạnh của hai tam giác này là: AN/AC = AD/AO = ND/OC.

Vậy ta có AN/AC = AD/AO = ND/OC = 1.

Từ đó, ta suy ra AN = AC = OC = R.

Kết hợp với AD = AC = OC = R, ta có AN = AD = R.

Do đó, ta có AH . AO = AN . AD = R . R = R^2.

d) Ta có sin(AHN) = sin(180° - AON) = sin(AON).

Vì tam giác AON là tam giác vuông tại O, nên sin(AON) = AO/AN.

Vậy sin(AHN) = AO/AN = R/R = 1.

Vậy giá trị chính xác của sin(AHN) là 1.