Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của BC, AC

a) Ta có AI là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AI cắt BC tại trung điểm K của BC. Vì AB = AC, nên tam giác ABC là tam giác cân, suy ra AK là đường cao của tam giác ABC và AK cắt BC tại trung điểm K của BC.
Vậy ta có AI = AK = IK.
Do đó, tam giác AIB và tam giác AIC có cạnh AI chung và cạnh IB = IC (vì I là trung điểm của BC), nên theo nguyên lý cạnh-đỉnh-cạnh, ta có tam giác AIB = tam giác AIC.

b) Gọi E là trung điểm của KL. Ta có KD = KI (theo giả thiết). Vì I là trung điểm của AC, nên IE song song với AD (do IE là đường trung tuyến của tam giác AKD).
Vậy ta có KD = KI = DE.
Do đó, tam giác KDI là tam giác đều.
Suy ra, tam giác KDI có cạnh KD = KI = DI, nên tam giác KDI là tam giác đều.
Vậy ta có KD = DI.
Từ đó, ta có AD = AK + KD = AK + DI = AI + IC = AC + IC = AC + CI = AI + IC = AD.

c) Ta đã chứng minh được AD = IC (theo câu b), nên ta có hai cạnh AD và IC bằng nhau.
Vì AI là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AI song song với BC.
Do đó, ta có AD//IC.

d) Gọi O là trung điểm của AI. Ta cần chứng minh B, O, D thẳng hàng.
Vì O là trung điểm của AI, nên ta có AO = OI.
Vì I là trung điểm của BC, nên ta có AI = IC.
Vậy ta có AO = OI = IC.
Do đó, tam giác AOC là tam giác cân tại O.
Vì tam giác ABC là tam giác cân, nên ta có AB = AC.
Suy ra, tam giác AOB cũng là tam giác cân tại O.
Vậy ta có AO = OB.
Từ đó, ta có AO = OB = OC = OD.
Vậy ta có B, O, D thẳng hàng.