Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB đến (O) với B là tiếp điểm. Vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với OA tại H

a, Ta có:
- Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOB = 90 độ.
- Gọi I là trung điểm của AC, ta có AI song song với OB (do AOB = 90 độ).
- Gọi K là giao điểm của AI và OB.
- Gọi E' là giao điểm của AM và đường tròn tâm I, ta có AE' song song với OB (do AOB = 90 độ).
- Gọi N' là giao điểm của E'C và OB.

Ta cần chứng minh CE' vuông góc với AN' và AE' = AN'.

Ta có:
- Vì AE' song song với OB và AC là đường kính của đường tròn tâm I nên góc E'AC = 90 độ.
- Vì AC là đường kính của đường tròn tâm I nên góc E'CA = 90 độ.
=> Tam giác E'AC vuông tại A.
- Vì AE' song song với OB nên góc E'AB = góc AOB = 90 độ.
=> Tam giác E'AB vuông tại A.
=> Tam giác E'AC và tam giác E'AB có cạnh góc chung là EA.
=> Tam giác E'AC và tam giác E'AB đồng dạng.
=> AE' / AC = AB / AE' (1)

- Vì AI song song với OB nên góc KAI = góc AOB = 90 độ.
=> Tam giác KAI vuông tại A.
- Vì AI song song với OB nên góc KIA = góc AOB = 90 độ.
=> Tam giác KIA vuông tại A.
=> Tam giác KAI và tam giác KIA có cạnh góc chung là KA.
=> Tam giác KAI và tam giác KIA đồng dạng.
=> AK / AI = AI / AK (2)

- Vì M là trung điểm của OB và OC nên MN' song song với OB (do N' là giao điểm của AM và OB).
- Vì M là trung điểm của OB và OC nên MN' song song với OC (do N' là giao điểm của AM và OC).
=> MN' song song với OC và OB.
=> MN' vuông góc với AC.
=> MN' vuông góc với AI.
=> Tam giác AMN' vuông tại N'.
=> Tam giác AMN' đồng dạng với tam giác AIN' (do có 2 góc vuông).
=> AN' / AM = AI / AN' (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có:
AE' / AC = AB / AE' => AE'^2 = AB * AC
AK / AI = AI / AK => AK^2 = AI^2
AN' / AM = AI / AN' => AN'^2 = AM * AI

Vậy, ta có: AE'^2 = AB * AC, AK^2 = AI^2, AN'^2 = AM * AI.

- Vì AE' = AE (vì E' là giao điểm của AM và đường tròn tâm I) nên AE^2 = AB * AC.
=> Tam giác AEB vuông tại A.
=> AE vuông góc với AB.
=> CE vuông góc với AN (vì CE là đường cao của tam giác AEB).
- Vì AE = AN' (vì E' là giao điểm của AM và đường tròn tâm I) nên AE = AN'.
=> AN = AN' (vì AN = AE).
=> AN = AH (vì AH là đường cao của tam giác AOB).
- Vì AE = AN' (vì E' là giao điểm của AM và đường tròn tâm I) nên AE = AN'.
=> AE = AN (vì AN = AE).
=> AE = AH (vì AH là đường cao của tam giác AOB).

Vậy, ta có CE vuông góc với AN và AE = AN = AH.

b, Ta có:
- Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOB = 90 độ.
- Vì CE vuông góc với AN (đã chứng minh ở câu a) nên góc CED = góc AEN (do CE song song với AB).
- Vì AE = AN (đã chứng minh ở câu a) nên góc AEN = góc AEB (do tam giác AEN và tam giác AEB đồng dạng).
- Vì góc AOB = 90 độ nên góc AEB = góc AOB = 90 độ.
=> Góc CED = 90 độ.
- Vì CE vuông góc với AN (đã chứng minh ở câu a) nên CE vuông góc với AB.
- Vì CE vuông góc với AB nên góc CED = 90 độ.
=> CE vuông góc với AB.
- Vì CE vuông góc với AB và DH song song với AB (do DH là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với OA) nên CE // DH.
- Vì CE // DH nên góc CED = góc DHE (do CE và DH là hai đường thẳng song song).
- Vì góc CED = 90 độ nên góc DHE = 90 độ.
=> DH // OB.