Bài 3:
Gọi số bóng xanh trong túi mà bạn Toán lấy là x, số bóng xanh trong túi mà bạn Học lấy là y.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
x + y + số bóng đỏ = 5x + 2y
=> 4x - y = số bóng đỏ
Vì số bóng đỏ nằm trong khoảng từ 18 đến 34, nên ta có các cặp giá trị (x, y) thỏa mãn:
(5, 2): 4x - y = 18 => y = 2x - 18
(6, 3): 4x - y = 19 => y = 4x - 19
(7, 3): 4x - y = 21 => y = 4x - 21
(8, 4): 4x - y = 23 => y = 4x - 23
(10, 5): 4x - y = 25 => y = 4x - 25
(17, 8): 4x - y = 34 => y = 4x - 34
Ta thấy chỉ có cặp giá trị (5, 2) thỏa mãn y là số nguyên dương.
Vậy số bóng đỏ trong túi còn lại là: 4x - y = 4*5 - 2 = 18. Đáp số: 18.

Bài 4:
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Gọi S(n) là tổng các số trên bảng sau n phép biến đổi.
Ta có S(0) = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 > 1.
Giả sử sau k phép biến đổi, tổng các số trên bảng vẫn lớn hơn 1, tức là S(k) > 1.
Ta sẽ chứng minh rằng sau mỗi phép biến đổi, tổng các số trên bảng không nhỏ hơn tổng trước đó.
Giả sử sau một phép biến đổi, ta thay x, y bằng 3xy /x+2y và 3xy /2.x + y.
Ta có: 3xy /x+2y + 3xy /2.x + y = 3xy(2.x + y + x + 2y) / (x+2y)(2.x + y) = 6xy(x + y) / (x+2y)(2.x + y)
Ta sẽ chứng minh rằng: 6xy(x + y) / (x+2y)(2.x + y) ≥ 1 với mọi x, y > 0.
Đặt t = x/y, ta có: 6t(t + 1) / (t + 2)(2t + 1) ≥ 1
<=> 6t^2 + 6t ≥ 2t^2 + 5t + 2
<=> 4t^2 + t ≥ 0 (đúng với mọi t > 0)
Vậy sau mỗi phép biến đổi, tổng các số trên bảng không nhỏ hơn tổng trước đó.
Do đó, sau k phép biến đổi, tổng các số trên bảng vẫn lớn hơn 1.
Vậy không có thời điểm nào mà trên bảng xuất hiện một số nhỏ hơn 1.

Bài 5:
Gọi số con tắc kè màu xám, màu nâu và màu đỏ lần lượt là x, y và z.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
x + y = 155 + z
y + z = 177 + x
z + x = 133 + y
Tổng cả 3 phương trình trên, ta được:
2(x + y + z) = 465 + (x + y + z)
=> x + y + z = 465
Vậy tổng số con tắc kè trên đảo là 465.
Do đó, không có thời điểm nào mà tất cả các con tắc kè có cùng màu.

Bài 6:
Gọi số lần thực hiện trò chơi là n.
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 0, ta có 2017 đồng xu, mỗi đồng xu có mặt màu xanh và mặt màu đỏ.
Vậy không thể thu được tất cả các đồng xu đều có mặt màu đỏ ngửa lên.
Giả sử sau k lần thực hiện trò chơi, ta không thể thu được tất cả các đồng xu đều có mặt màu đỏ ngửa lên.
Ta sẽ chứng minh rằng sau k+1 lần thực hiện trò chơi, ta cũng không thể thu được tất cả các đồng xu đều có mặt màu đỏ ngửa lên.
Giả sử sau k+1 lần thực hiện trò chơi, ta có thể thu được tất cả các đồng xu đều có mặt màu đỏ ngửa lên.
Khi đó, ta phải thực hiện một phép biến đổi để đảo ngược lại trạng thái trước đó.
Mỗi phép biến đổi đổi bốn mặt của bốn đồng xu tương ứng.
Vậy số lần biến đổi phải là một số chẵn.
Nhưng với k lần thực hiện trò chơi, số lần biến đổi là một số lẻ.
Vậy giả sử sai.
Do đó, sau k+1 lần thực hiện trò chơi, ta cũng không thể thu được tất cả các đồng xu đều có mặt màu đỏ ngửa lên.
Vậy không thể thu được tất cả các đồng xu đều có mặt màu đỏ ngửa lên sau một số lần thực hiện trò chơi.