Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm AC. Trên tia đối MB lấy 1 sao cho MB = MI

a) Ta có MB = MI (theo đề bài). Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC. Do đó, tam giác AMC là tam giác cân tại M.

Vì AM = MC và góc AMC = góc AMI (cùng là góc vuông), nên tam giác AMI = tam giác CMB (theo trường hợp cân).

b) Ta có MB = MI (theo đề bài). Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC.

Vì tam giác AMI = tam giác CMB (chứng minh ở câu a), nên góc AMI = góc CMB.

Do đó, góc AMI + góc CMB = 180° (góc bù).

Vì góc AMI + góc BAI = 180° (góc bù), nên góc CMB = góc BAI.

Vậy AI // BC (do có cặp góc đồng quy).

c) Vì AI // BC (chứng minh ở câu b), nên góc BAI = góc ABC (cùng là góc đồng quy).

Vì Ax 1 BI và Cy 1 BI (do cùng cắt BI), nên góc BAI = góc EAF (cùng là góc đồng quy).

Vậy góc ABC = góc EAF.

Vì tam giác ABC = tam giác EAF (cùng có 2 góc bằng nhau), nên tam giác AFB = tam giác CEB (tam giác đồng dạng).

Vì AF // CE (do cùng là cặp cạnh đồng quy), nên AF = CE.