Câu 1:
Để tính giá trị của biểu thức M = sin135 độ . cos60 độ + sin60 độ . cos150 độ, ta sử dụng các công thức sau:
- sin(135 độ) = sin(180 độ - 135 độ) = sin(45 độ) = 1/√2
- cos(60 độ) = 1/2
- sin(60 độ) = √3/2
- cos(150 độ) = cos(180 độ - 150 độ) = cos(30 độ) = √3/2

Thay các giá trị vào biểu thức M:
M = (1/√2) . (1/2) + (√3/2) . (√3/2)
= 1/(2√2) + 3/4
= (2 + 3√2)/4
= (1 + (3/2)√2)/2

Vậy giá trị của biểu thức M là (1 + (3/2)√2)/2.

Câu 2:
Trong tam giác ABC có góc B = 45 độ, góc C = 60 độ và AC = 8.

a) Để tính độ dài cạnh a, ta sử dụng định lý côsin:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cosA
a^2 = 8^2 + 8^2 - 2.8.8.cos(45 độ)
a^2 = 128 - 128.√2/2
a^2 = 128 - 64√2
a = √(128 - 64√2)

b) Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R, ta sử dụng công thức:
R = (abc)/(4S)
Trong đó, a, b, c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và S là diện tích tam giác ABC.

Để tính diện tích tam giác S, ta sử dụng công thức Heron:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
Trong đó, p = (a+b+c)/2 là nửa chu vi tam giác ABC.

Tính p:
p = (a+b+c)/2
= (8 + 8 + a)/2
= (16 + a)/2
= 8 + a/2

Tính S:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
= √((8 + a/2)(8 + a/2 - 8)(8 + a/2 - 8)(8 + a/2 - a))
= √((8 + a/2)(a/2)(a/2)(8 - a/2))
= √((8 + a/2)(a/2)^3(8 - a/2))
= √((8 + a/2)(a^3/8)(8 - a/2))
= √(a^3(8 + a/2)(8 - a/2)/64)
= √(a^3(64 - (a/2)^2)/64)
= √(a^3(64 - a^2/4)/64)
= √(a^3(256 - a^2)/256)
= √(a^3(16 - a^2/256))
= √(a^3(16 - a^2)/16)
= √(a^3(16 - a^2))/4
= a√(16 - a^2)/4

Tính R:
R = (abc)/(4S)
= (8.a.8)/(4.a√(16 - a^2)/4)
= 64/√(16 - a^2)

Vậy độ dài cạnh a là √(128 - 64√2), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R là 64/√(16 - a^2), diện tích tam giác S là a√(16 - a^2)/4 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r là R/2.