Từ điểm A nằm ngoài (O;R) vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh: OA vuông góc với BC

a) Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có OA vuông góc với AB và OA vuông góc với AC. Vậy OA vuông góc với BC.

b) Ta có BD là đường kính của đường tròn (O), nên theo tính chất của đường kính, ta có BD đi qua tâm O và chia đường tròn thành hai cung bằng nhau. Do đó, ta có một cặp tam giác vuông cân ABD và AED.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD, ta có:
AB^2 = AD^2 + BD^2
=> AB^2 - AD^2 = BD^2
=> (AB + AD)(AB - AD) = BD^2
Vì AB = AC (vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên ta có:
AC^2 - AD^2 = BD^2
=> AC^2 - AD^2 = AE^2 (vì AE = BD)
=> AC^2 - AD^2 = (AC + DE)(AC - DE)
=> AC^2 - AD^2 = AC^2 - DE^2
=> -AD^2 = -DE^2
=> AD^2 = DE^2
=> AD = DE

Vậy ta có AH.AO = AD^2 = DE^2 = AE.AD.

c) Ta có OF vuông góc với DE (vì OF là đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với DE), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có OF vuông góc với KD.

Vì OA vuông góc với BC (đã chứng minh ở câu a), nên ta có OF vuông góc với BC.

Vậy ta có OF vuông góc với cả KD và BC, nên OF là đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với KD.

Do đó, ta có KD là tiếp tuyến của đường tròn (O).