A) Để chứng minh đường trung tuyến BD // BC, ta cần chứng minh tứ giác EDNM là hình bình hành.

Ta có:
- Đường trung tuyến BD chia tam giác ABC thành hai tam giác BDM và BDN có cạnh chung BD.
- Vì BM = MD (đường trung tuyến), nên tam giác BDM là tam giác cân tại B.
- Tương tự, tam giác BDN cũng là tam giác cân tại B.
- Vì BM = MD và BN = ND, nên BM = ND.
- Vậy, ta có tứ giác BDMN là hình bình hành (có hai cạnh đối xứng là BM và DN).

B) Gọi K là giao điểm của MN và AC. Ta cần chứng minh DK = 2KC.

Ta có:
- Vì MN là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên MN // BC và MN = 0.5BC.
- Gọi H là trung điểm của BC, ta có MH = 0.5BC.
- Vì DK là đường trung tuyến của tam giác DMN, nên DK // MN và DK = 0.5MN.
- Vậy, ta có DK = 0.5MN = 0.5(0.5BC) = 0.25BC.
- Tương tự, ta có KC = 0.25BC.
- Vậy, ta có DK = 2KC.

C) Trên cạnh AB, lấy điểm I sao cho BE = 3BI. Ta cần chứng minh rằng ba điểm I, M, K thẳng hàng.

Ta có:
- Vì BE = 3BI, nên EI = 2BI.
- Vì BM = MD (đường trung tuyến), nên BM // AC.
- Vì BM // AC và EI // AB, nên theo nguyên lý Thales, ta có:
BI/IA = BE/EC = 3/1.
- Vậy, ta có BI = 3IA.
- Vì BI = 3IA và EI = 2BI, nên EI = 6IA.
- Vì EI = 6IA và KM = 0.5AM (đường trung tuyến), nên KM = 0.5(2IA) = IA.
- Vậy, ta có KM = IA.
- Vì KM = IA và KM // AC, nên theo nguyên lý Thales, ta có:
IA/AC = KM/MC.
- Vậy, ta có IA = KM = MC.
- Vậy, ba điểm I, M, K thẳng hàng.