Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn O (A, B là hai tiếp điểm) MO cắt AB tại H. Kẻ đường kính BC của đường tròn (O), đường thẳng qua O vuông góc MC lần lượt cắt MC, BA tại K, E

a) Ta có:
- Trong tam giác OMA vuông tại M, ta có: OM^2 = OA^2 + AM^2
=> AM = sqrt(OM^2 - OA^2) = sqrt(15^2 - 9^2) = sqrt(144) = 12
- Trong tam giác OMB vuông tại M, ta có: OM^2 = OB^2 + BM^2
=> BM = sqrt(OM^2 - OB^2) = sqrt(15^2 - 9^2) = sqrt(144) = 12
- Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên MA = MB = 12

Để tính ^AMB, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác OMA:
cos(^AMB) = (OM^2 + AM^2 - OA^2) / (2 * OM * AM)
= (15^2 + 12^2 - 9^2) / (2 * 15 * 12)
= (225 + 144 - 81) / (2 * 15 * 12)
= 288 / 360
= 4/5

^AMB = arccos(4/5) ≈ 36.87° (làm tròn đến phút)

b) Ta có:
- Trong tam giác OMA, ta có: cos(^MAO) = OA / AM
=> ^MAO = arccos(OA / AM) = arccos(9 / 12) = arccos(3/4)
- Trong tam giác OAE, ta có: cos(^MAE) = AE / OA
=> ^MAE = arccos(AE / OA) = arccos((MA + ME) / OA) = arccos((MA + MC) / OA) (vì ME = MC)
- Trong tam giác OAC, ta có: cos(^CAO) = OA / AC
=> ^CAO = arccos(OA / AC) = arccos(9 / (MA + MC))

Vì ^MAO + ^MAE + ^CAO = 180° (tổng các góc trong tam giác), nên:
arccos(3/4) + ^MAE + arccos(9 / (MA + MC)) = 180°
=> ^MAE = 180° - arccos(3/4) - arccos(9 / (MA + MC))

Từ đó, ta có:
MA . AE = MA . (MA + ME) = MA^2 + MA . ME
= MA^2 + MA . MC (vì ME = MC)
= MA^2 + MA . (MA + MC)
= MA^2 + MA^2 + MA . MC
= 2MA^2 + MA . MC

Vì MA = 12, nên:
MA . AE = 2(12^2) + 12 . MC
= 288 + 12 . MC

Vì ^MAE = 180° - arccos(3/4) - arccos(9 / (MA + MC)), nên:
cos(^MAE) = cos(180° - arccos(3/4) - arccos(9 / (MA + MC)))
=> AE / OA = -cos(arccos(3/4) + arccos(9 / (MA + MC)))

Vì cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b), nên:
AE / OA = -cos(arccos(3/4))cos(arccos(9 / (MA + MC))) + sin(arccos(3/4))sin(arccos(9 / (MA + MC)))
= -3/4 * (9 / (MA + MC)) + sqrt(1 - (3/4)^2) * sqrt(1 - (9 / (MA + MC))^2)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(1 - 9/16) * sqrt(1 - 81 / (MA + MC)^2)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(1 - 81 / (MA + MC)^2)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt((MA + MC)^2 - 81) / (MA + MC)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(MA^2 + 2MA.MC + MC^2 - 81) / (MA + MC)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(2MA^2 + 2MA.MC - 81) / (MA + MC)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(2(12^2) + 2(12)MC - 81) / (MA + MC)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(288 + 24MC - 81) / (MA + MC)
= -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(207 + 24MC) / (MA + MC)

Vậy, ta cần chứng minh:
-27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(207 + 24MC) / (MA + MC) = -9 / (MA + MC) + sqrt(1 - 9/16) * sqrt(1 - 81 / (MA + MC)^2)
=> -27 / (4(MA + MC)) + sqrt(7/16) * sqrt(207 + 24MC) / (MA + MC) = -9 / (MA + MC) + sqrt(7/16) * sqrt(1 - 81 / (MA + MC)^2)

Để chứng minh điều trên, ta có thể đặt MA + MC = x và giải phương trình trên để tìm x.

c) Để chứng minh EC là tiếp tuyến của (O), ta cần chứng minh ^CEM = ^CME.

Ta có:
- Trong tam giác OMC, ta có: cos(^CME) = CM / MC
=> ^CME = arccos(CM / MC) = arccos((MA + MC) / MC) = arccos((x) / MC)
- Trong tam giác OEC, ta có: cos(^CEM) = EC / MC
=> ^CEM = arccos(EC / MC) = arccos((MA + MC + AE) / MC) = arccos((x + AE) / MC)

Để chứng minh ^CEM = ^CME, ta cần chứng minh arccos((x + AE) / MC) = arccos((x) / MC).

Vậy, ta cần chứng minh (x + AE) / MC = (x) / MC.

Để chứng minh điều trên, ta có thể đặt MC = y và giải phương trình trên để tìm y.