Để giải bài toán này, ta vẽ hình như sau:

```
B
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/ |
/ |
A-------C
```

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH sẽ là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Theo định nghĩa, đường cao AH sẽ vuông góc với cạnh BC tại H. Vì vậy, ta có:

AH ⊥ BC

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có:

AB² + AC² = BC²

Vì AH là đường cao, nên ta có:

AB² = AH² + BH²
AC² = AH² + HC²

Với BH = 9 cm và HC = 16 cm, ta có:

AB² = AH² + 9²
AC² = AH² + 16²

Ta có hệ phương trình:

AB² + AC² = BC²
AH² + 9² + AH² + 16² = BC²

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có:

BC² = AB² + AC²
BC² = AH² + 9² + AH² + 16²

Thay AB² và AC² vào biểu thức trên, ta có:

BC² = AH² + 9² + AH² + 16²
BC² = 2AH² + 9² + 16²

Vì AH ⊥ BC, nên ta có:

BC = BH + HC
BC = 9 + 16
BC = 25

Thay BC = 25 vào biểu thức trên, ta có:

25² = 2AH² + 9² + 16²
625 = 2AH² + 81 + 256
625 = 2AH² + 337

2AH² = 625 - 337
2AH² = 288

AH² = 288 / 2
AH² = 144

Vậy AH = √144 = 12 cm

Thay AH = 12 vào biểu thức AB² = AH² + 9², ta có:

AB² = 12² + 9²
AB² = 144 + 81
AB² = 225

Vậy AB = √225 = 15 cm

Vậy AH = 12 cm và AB = 15 cm.