Cho (O) điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn B, C là tiếp điểm

a/ Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Gọi H là hình chiếu của O lên AB.
- Gọi N là hình chiếu của O lên AC.
- Gọi I là giao điểm của OH và BC.
- Gọi K là giao điểm của AB và CD.

Ta có:
- AB là tiếp tuyến của đường tròn (B), nên OB vuông góc AB.
- AC là tiếp tuyến của đường tròn (C), nên OC vuông góc AC.
- Do đó, ta có OB // AC và OC // AB.
- Ta có: OB // AC, AB // OC, nên theo định lí của góc hai tiếp tuyến, ta có: ∠OAB = ∠OCA.
- Tương tự, ta có: ∠OBA = ∠OBC.
- Vậy, ta có: ∠OAB = ∠OCA và ∠OBA = ∠OBC.
- Do đó, tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCA (theo góc).
- Từ đó, ta có: ∠OAB = ∠OCA = ∠OBC.
- Vậy, ta có: ∠OBC = ∠OAB = ∠OCA.
- Khi đó, ta có: ∠OBC + ∠OCA + ∠OAB = 180°.
- Từ đó, ta suy ra: ∠OBC + ∠OCA + ∠OAB = ∠OBC + ∠OBC + ∠OBC = 180°.
- Vậy, ta có: 3∠OBC = 180°.
- Từ đó, ta suy ra: ∠OBC = 60°.
- Do đó, ta có: BC vuông góc OA.

b/ Ta có:
- Gọi D' là giao điểm của OA và CD.
- Ta cần chứng minh OA // CD, tức là chứng minh ∠OCD = ∠OD'C.
- Ta có: ∠OBC = ∠OAB (vì tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCA).
- Từ đó, ta suy ra: ∠OBC = ∠OAB = ∠OCD (do AB // CD).
- Vậy, ta có: ∠OCD = ∠OBC.
- Ta có: ∠OBC = ∠OAB = ∠OD'C (do tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCA).
- Vậy, ta có: ∠OCD = ∠OD'C.
- Từ đó, ta suy ra: OA // CD.