a) Tứ giác ADCM là hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm của cạnh BC, N là trung điểm của cạnh AC, nên ta có MN song song với AB và MN bằng một nửa độ dài AB.

Do đó, ta có AM = MD và MN = NC.

Vì vậy, ta có AM = MD = NC, tứ giác ADCM có 4 cạnh bằng nhau, là hình chữ nhật.

b) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A, tứ giác ADCM là hình vuông.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có AM vuông góc với AB và AM = MC.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC.

Do đó, ta có AM = MC = BM, tứ giác ADCM có 4 cạnh bằng nhau, là hình vuông.

Chứng minh:

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có AB = AC.

Vì N là trung điểm của AC, nên ta có AN = NC.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC.

Vì AM = MC và AN = NC, nên ta có AM = AN.

Vì MD là đối xứng của MA qua N, nên ta có MD = MA.

Vậy, ta có AM = AN = MD = MA, tứ giác ADCM có 4 cạnh bằng nhau, là hình vuông.