a) MA là tiếp tuyến của (O) tại A ⇒ OA ⊥AM ⇔ ΔOAM vuông tại A

     MB là tiếp tuyến của (O) tại B ⇒ OB ⊥ BM ⇔ ΔOBM vuông tại B

Gọi F là trung điểm của MO  ⇒ AF là đường trung tuyến ΔOAM ⇒ FM=FA =FO

⇒ M,A,O ∈ (F) đường kính MO (1)

      F là trung điểm của MO ⇒ BF là đường trung tuyến ΔOBM ⇒ FM=FB =FO

⇒ M, B, O ∈ (F) đường kính MO (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 4 điểm A,O,B,M cùng thuộc dt tâm F đường kính MO (đpcm)

b) M là giao điểm 2 tiếp tuyến ⇒ OM là tia phân giác góc AMB và MA =MB

⇒ ΔAMB cân tại M ⇒ OM là phân giác cũng là  đường trung trực ΔAMB

⇒ OM ⊥ AB (đpcm)

Xét ΔABM có O là trung điểm của BD (gt) ⇒ AO là đường trung tuyến ΔABM

Mà OA =OB =OD =1/2BD ⇒ ΔABD vuông tại A ( t/c đường trung tuyến =1/2 cạnh huyền)

⇒ OA ⊥ AB

mà OM ⊥AB (cmt) ⇒ OM//AD (đpcm)

c) I là giao điểm của 2 tiếp tuyến ⇒ IA =IE

    K là giao điểm 2 tiếp tuyến ⇒  KE =KB

⇒ AI + KB = IE + KE =IK

Chu vi ΔMIK  = MI +IK + MK = MI + MK + (IA + KB)

mà MI = MA -IA, MK = MB - KB

⇒ Chu vi ΔMKI = MA -IA + MB- KB +(IA +KB) = MA + MB

⇒ Chu vi ΔMKI không phụ thuộc vào vị trí điểm E (đpcm)

- ΔAIO =ΔEIO do IA =IE (gt), OA=OE (gt) , IO là cạnh chung ⇒ ∠AOI =∠EOI  (3)

-ΔEKO = ΔBKO do KB=KE (gt), OE =OB (gt) , KO là cạnh chung ⇒ ∠EOK= ∠BOK(4)

- ∠AOB = ∠AOI +∠EOI + ∠EOK+ ∠BOK 

Từ (3) và (4) ⇒  ∠AOB = 2∠EOI + 2∠EOK

mà ∠EOI + EOK = ∠IOK ⇒ ∠IOK = ∠AOB/2 ⇒ góc IOK không phụ thuộc vào vị trí của E (đpcm)