Tìm x; y nguyên biết y^2+2xy=3x^2+5

Để tìm x và y nguyên thỏa mãn phương trình y^2 + 2xy = 3x^2 + 5, ta có thể sử dụng phương pháp giải bằng cách đặt y = mx + c, với m và c là các số nguyên.

Thay y = mx + c vào phương trình ban đầu, ta có:
(mx + c)^2 + 2x(mx + c) = 3x^2 + 5
m^2x^2 + 2mcx + c^2 + 2mx^2 + 2cx = 3x^2 + 5
(m^2 + 2m - 3)x^2 + (2mc + 2c)x + (c^2 - 5) = 0

Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần các hệ số của x^2 và x là các số nguyên. Vì vậy, ta có các trường hợp sau:

1. (m^2 + 2m - 3) = 0 và (2mc + 2c) = 0:
Giải hệ phương trình này, ta có m = -3 hoặc m = 1, và c = 0.
Khi đó, ta có y = -3x và y = x là các nghiệm nguyên của phương trình ban đầu.

2. (m^2 + 2m - 3) = 0 và (c^2 - 5) = 0:
Giải hệ phương trình này, ta có m = -3 hoặc m = 1, và c = ±√5.
Khi đó, ta có y = -3x ± √5x và y = x ± √5x là các nghiệm nguyên của phương trình ban đầu.

Vậy, các cặp giá trị (x, y) nguyên thỏa mãn phương trình y^2 + 2xy = 3x^2 + 5 là:
(x, y) = (k, -3k), (k, k), (k, -3k ± √5k), (k, k ± √5k), với k là số nguyên.