a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AC = √(AB^2 + BC^2) = √(3^2 + 5^2) = √(9 + 25) = √34 cm.

Đường thẳng BD là đường thẳng vuông góc với BC, nên tam giác BCD cũng là tam giác vuông tại D. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác BCD, ta có:
BD = √(BC^2 + CD^2) = √(5^2 + AD^2).

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AB^2 + BC^2 = AC^2.
3^2 + 5^2 = AC^2.
9 + 25 = AC^2.
34 = AC^2.
AC = √34 cm.

Từ đó, ta có:
BD = √(5^2 + AD^2) = √(25 + AD^2).

Vì BD là đường thẳng vuông góc với BC, nên ta có:
BC^2 + CD^2 = BD^2.
5^2 + AD^2 = BD^2.
25 + AD^2 = BD^2.

So sánh hai biểu thức trên, ta có:
34 = BD^2.
BD = √34 cm.

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên tam giác ABE cũng vuông tại E. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABE, ta có:
AB^2 + BE^2 = AE^2.
3^2 + BE^2 = AE^2.
9 + BE^2 = AE^2.

Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABD, ta có:
AB^2 + BD^2 = AD^2.
3^2 + BD^2 = AD^2.
9 + BD^2 = AD^2.

So sánh hai biểu thức trên, ta có:
9 + BE^2 = 9 + BD^2.
BE^2 = BD^2.

Vậy, BE.BC = BF.BD.

c) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên tam giác BCD cũng vuông tại D. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác BCD, ta có:
BC^2 + CD^2 = BD^2.
5^2 + CD^2 = BD^2.
25 + CD^2 = BD^2.

Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác BFE, ta có:
BE^2 + EF^2 = BF^2.
BE^2 + (CD + DF)^2 = BF^2.
BE^2 + CD^2 + 2CD.DF + DF^2 = BF^2.

So sánh hai biểu thức trên, ta có:
25 + CD^2 = BE^2 + CD^2 + 2CD.DF + DF^2.
25 = BE^2 + 2CD.DF + DF^2.
25 = BE^2 + DF(2CD + DF).

Vì BE.BC = BF.BD, nên ta có:
BE.BC = BF.BD.
BE.5 = BF.BD.
BE = BF.BD/5.

Thay vào biểu thức trên, ta có:
25 = (BF.BD/5)^2 + DF(2CD + DF).
25 = (BF^2.BD^2/25) + DF(2CD + DF).
25 = BF^2.BD^2/25 + DF(2CD + DF).
25 = BF^2.BD^2 + 25DF(2CD + DF).
25 = BF^2.BD^2 + 50CDF + DF^3.

So sánh hai biểu thức trên, ta có:
BF^2.BD^2 + 50CDF + DF^3 = 25.
BF^2.BD^2 + 50CDF + DF^3 - 25 = 0.

Vậy, ta đã chứng minh được BCD = BFE.