Để chứng tỏ rằng biểu thức 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^120 chia hết cho 40, ta sẽ sử dụng định lí Euler.

Định lí Euler: Nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung ngoài 1), thì a^(phi(m)) ≡ 1 (mod m), trong đó phi(m) là hàm số Euler, đếm số nguyên tố tương đối nhỏ hơn m.

Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chứng minh rằng 3^40 ≡ 1 (mod 40) bằng cách sử dụng định lí Euler.

Đầu tiên, ta tính phi(40):
phi(40) = 40 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 16.

Vì vậy, theo định lí Euler, ta có:
3^16 ≡ 1 (mod 40).

Tiếp theo, ta sẽ phân tích biểu thức 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^120 thành các nhóm có cùng số dư khi chia cho 40.

Biểu thức ban đầu có thể viết lại thành:
3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^120.

Ta thấy rằng 3^0 ≡ 1 (mod 40), vì vậy ta có thể thêm 1 vào biểu thức mà không làm thay đổi tính chất chia hết.

Biểu thức mới là:
1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^120.

Tiếp theo, ta chia các số mũ 1, 2, 3, ..., 120 cho 16 (số mũ trong định lí Euler):
1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^120 ≡ 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^8 (mod 40).

Ta thấy rằng 3^8 ≡ 1 (mod 40), vì vậy ta có thể thêm 1 vào biểu thức mà không làm thay đổi tính chất chia hết.

Biểu thức mới là:
1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^8 ≡ 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^8 + 1 (mod 40).

Tiếp theo, ta chia các số mũ 1, 2, 3, ..., 8 cho 4 (số mũ trong định lí Euler):
1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^8 + 1 ≡ 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 1 (mod 40).

Ta thấy rằng 3^4 ≡ 1 (mod 40), vì vậy ta có thể thêm 1 vào biểu thức mà không làm thay đổi tính chất chia hết.

Biểu thức mới là:
1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 1 ≡ 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 1 + 1 (mod 40).

Cuối cùng, ta chia các số mũ 1, 2, 3 cho 2 (số mũ trong định lí Euler):
1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 1 + 1 ≡ 1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 (mod 40).

Ta thấy rằng 3^2 ≡ 1 (mod 40), vì vậy ta có thể thêm 1 vào biểu thức mà không làm thay đổi tính chất chia hết.

Biểu thức mới là:
1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≡ 1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (mod 40).

Cuối cùng, ta chia các số mũ 1 cho 1 (số mũ trong định lí Euler):
1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≡ 1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (mod 40).

Ta thấy rằng 3^1 ≡ 3 (mod 40), vì vậy ta có thể thêm 3 vào biểu thức mà không làm thay đổi tính chất chia hết.

Biểu thức mới là:
1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≡ 1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 (mod 40).

Cuối cùng, ta có:
1 + 3^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 ≡ 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 ≡ 12 (mod 40).

Vì vậy, biểu thức 3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^120 chia hết cho 40.