Để tính độ dài các đoạn thẳng AH và BC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC.

Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2

Thay giá trị AB = 4cm và AC = 4√2 cm vào phương trình trên, ta có:
4^2 + (4√2)^2 = BC^2
16 + 32 = BC^2
48 = BC^2

Vậy, độ dài đoạn thẳng BC là căn bậc hai của 48:
BC = √48 = 4√3 cm

Để tính độ dài đoạn thẳng AH, ta sử dụng công thức tính diện tích của tam giác:
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * AH

Thay giá trị AB = 4cm và diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * AC vào công thức trên, ta có:
1/2 * 4 * AH = 1/2 * 4 * 4√2
2 * AH = 4√2
AH = 2√2 cm

Vậy, độ dài đoạn thẳng AH là 2√2 cm.