Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x^2 + 17y^2 + 8xy - 4x + 6y + 2024, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành tức là biến đổi biểu thức ban đầu thành một biểu thức có dạng (x + a)^2 + (y + b)^2 + c, trong đó a, b, c là các hằng số cần tìm.

Đầu tiên, ta nhóm các thành phần chứa x và y lại:
A = (x^2 + 8xy - 4x) + (17y^2 + 6y) + 2024

Tiếp theo, ta cần hoàn thành tức là biến đổi thành dạng (x + a)^2 + (y + b)^2 + c. Để làm điều này, ta cần thêm vào biểu thức các thành phần (a^2 - a^2), (b^2 - b^2) và -c để cân bằng:
A = (x^2 + 8xy - 4x + 4a^2 - 4a^2) + (17y^2 + 6y + 9b^2 - 9b^2) + 2024 - c

Tiếp theo, ta cần xác định giá trị của a, b và c. Để làm điều này, ta cần so sánh các thành phần chứa x và y với các thành phần đã thêm vào:
8xy = 4a^2
=> xy = (1/2)a^2

-4x = -4a^2
=> x = a^2

17y^2 + 6y = 9b^2
=> 17y^2 + 6y + (9b^2 - 9b^2) = 9b^2
=> 17y^2 + 6y + 9b^2 = 9b^2

2024 - c = 4a^2 - 9b^2

Từ các phương trình trên, ta có thể suy ra giá trị của a, b và c. Tuy nhiên, để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần xác định giá trị nhỏ nhất của (x + a)^2 + (y + b)^2 + c. Điều này xảy ra khi (x + a)^2 = 0 và (y + b)^2 = 0, tức là x = -a và y = -b.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là A = (-a)^2 + (-b)^2 + c = a^2 + b^2 + c.