a) Ta có tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC. Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC, nên ta có AM = AB/2 và CN = BC/2. Do đó, ta có ME = MC - CE = MC - (AB/2) = MO - (AB/2) = (MC - AB)/2 = (NC - AM)/2 = NE/2. Vì ME = NE/2, nên ta có tam giác ENM đồng dạng với tam giác MEC theo nguyên tắc đường cao. Suy ra, góc EMC = góc MEN. Vì EM song song với AC, nên góc MEC = góc MAC. Do đó, ta có góc EMC = góc MEN = góc MAC. Chứng minh được tam giác ACEM là hình bình hành. b) Ta đã chứng minh trong câu a) rằng tam giác ACEM là hình bình hành. Vì O là trung điểm của MC, nên O cũng là trung điểm của AE (do ACEM là hình bình hành). Vậy ta có AO = OE. Do đó, ba điểm A, O, E thẳng hàng. c) Từ bài toán trong câu a), ta có góc EMC = góc MEN = góc MAC. Vì O là trung điểm của MC, nên ta có góc MOC = góc AOC/2 và góc ACM = góc MCA/2. Do đó, góc MOC = góc ACM. Vậy ta có góc MOC = góc ACM = góc MAC. Tương tự, ta có góc MNO = góc MCA. Suy ra, góc MOC = góc MNO. Từ đó, ta suy ra tam giác OMG đồng dạng với tam giác FAN (do có cạnh chung MO). Suy ra, MF = MN và FA = FG. Từ đó, ta thấy MF = MN = FA = FG. Vì MF = FG, nên ta có góc MFA = góc MFG = góc FGA. Tương tự, ta có góc FAM = góc FAG. Suy ra, tam giác MFA cân tại F. Vậy MNFA là hình thoi. d) Để tứ giác BECM là hình chữ nhật, ta cần thỏa mãn các điều kiện sau: 1. BC // AE (do BECM là hình chữ nhật). 2. BE = CM. 3. BM = CE. Vì BC // AE, ta có góc BAC = góc EAC (do AB = AC). Suy ra, tam giác ACE có hai góc nhọn bằng nhau, nên tam giác ACE là tam giác cân. Vậy ta có AM = MC. Do đó, ta có ME = MC - CE = AM - BM. Suy ra, ME = MB. Vậy ta có ba điều kiện: 1. Tam giác ACE cân. 2. AM = MC. 3. ME = MB. Điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BECM là hình chữ nhật là tam giác ACE cân, AM = MC và ME = MB.


a) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AM = MB và CM = CN do M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Vì M là trung điểm của AB, nên MN song song với AC và MN = 1/2 AC (do N là trung điểm của BC). Vì C đối diện với AB và song song với AB, nên tứ giác ACEM là hình bình hành. b) Gọi P là giao điểm của đường thẳng CE và AB. Ta có MP là đường cao của tam giác ABC từ góc C, do đó O là trung điểm của MC. Vì E là giao điểm của tia MN và đường thẳng CE, nên theo định lý hai điểm trên một đường, ta có A, O, E thẳng hàng. c) Ta đã chứng minh trong câu a) rằng tứ giác ACEM là hình bình hành, do đó AC song song với ME và AC = ME. Vì NO là đường cao của tam giác COE từ góc N, nên NO cũng là đường cao của tam giác MCE. Suy ra NO vuông góc với MC. Vì AC song song với ME, ta có NO vuông góc với AC. Do đó, tứ giác MNFA là hình thoi (do các cạnh đối diện của hình bình hành là bằng nhau và vuông góc với nhau). d) Tứ giác BECM là hình chữ nhật khi và chỉ khi BC = EM và MC = BE. Ta đã chứng minh trong câu a) rằng tứ giác ACEM là hình bình hành, do đó AC = EM. Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB và AC = EM, suy ra AB = 2AC. Vậy để tứ giác BECM là hình chữ nhật, điều kiện cần và đủ là AB = 2AC.

a) Để chứng minh tứ giác ACEM là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối của nó bằng nhau. Vì tam giác ABC cân tại A, ta có AM = BM. Vì trung điểm của một đoạn thẳng nằm giữa hai đỉnh của nó, nên MN = CN/2 = BN/2. Khi đó, ta có ME = CE - CM = BN/2 - BM/2 = (BN - BM)/2 = (CN - AM)/2 = AN/2 = EM. Từ đó, ta thấy cạnh CE = AM = BM và cạnh AE = EM = CE, do đó tứ giác ACEM là hình bình hành. b) Để chứng minh A, O, E thẳng hàng, ta chứng minh tam giác AOE là tam giác đều. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có AM = BM. Do đó, O là trung điểm của MC, nên O cũng là trung điểm của BN. Suy ra MO = ON. Mà ta đã chứng minh rằng AE = EM, do đó tam giác AOE là tam giác đều. Vì tam giác AOE là tam giác đều, nên BA vuông góc với OE. Khi đó, ta có A, O, E thẳng hàng. c) Để chứng minh MNFA là hình thoi, ta cần chứng minh MA vuông góc với CF và MF = FN. Do tam giác ABC cân tại A, ta có AM = BM. Dẫn đến MO = ON và ta đã chứng minh AE = EM. Vì O là trung điểm của MC, nên CM = 2MO = 2ON. Từ đó, ta suy ra CN = CM + MN = 2ON + MN = MN + 2OM = MN + NE. Suy ra tam giác CFN là tam giác cân, với FN = CN/2. Thêm vào đó, ta đã chứng minh rằng MF = NE. Khi đó, MNFA là hình thoi vì MF = FN và MA vuông góc với CF. d) Để tứ giác BECM là hình chữ nhật, ta cần chứng minh BC = EM và MB vuông góc với CE. Vì tam giác ABC cân tại A, ta có AM = BM. Ta đã chứng minh cạnh CE = AM = BM, suy ra BC = EM. Vì MN là đường thẳng song song với AB và MN cắt CE tại E, ta có CE vuông góc với AB. Suy ra MB vuông góc với CE, do đó tứ giác BECM là hình chữ nhật. Tóm lại, điều kiện để tứ giác ABC đều là tam giác cân tại A, ME = EM, và CE vuông góc với AB.

a) Để chứng minh tứ giác ACEM là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối của nó bằng nhau. Vì tam giác ABC cân tại A, ta có AM = BM. Vì trung điểm của một đoạn thẳng nằm giữa hai đỉnh của nó, nên MN = CN/2 = BN/2. Khi đó, ta có ME = CE - CM = BN/2 - BM/2 = (BN - BM)/2 = (CN - AM)/2 = AN/2 = EM. Từ đó, ta thấy cạnh CE = AM = BM và cạnh AE = EM = CE, do đó tứ giác ACEM là hình bình hành. b) Để chứng minh A, O, E thẳng hàng, ta chứng minh tam giác AOE là tam giác đều. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có AM = BM. Do đó, O là trung điểm của MC, nên O cũng là trung điểm của BN. Suy ra MO = ON. Mà ta đã chứng minh rằng AE = EM, do đó tam giác AOE là tam giác đều. Vì tam giác AOE là tam giác đều, nên BA vuông góc với OE. Khi đó, ta có A, O, E thẳng hàng. c) Để chứng minh MNFA là hình thoi, ta cần chứng minh MA vuông góc với CF và MF = FN. Do tam giác ABC cân tại A, ta có AM = BM. Dẫn đến MO = ON và ta đã chứng minh AE = EM. Vì O là trung điểm của MC, nên CM = 2MO = 2ON. Từ đó, ta suy ra CN = CM + MN = 2ON + MN = MN + 2OM = MN + NE. Suy ra tam giác CFN là tam giác cân, với FN = CN/2. Thêm vào đó, ta đã chứng minh rằng MF = NE. Khi đó, MNFA là hình thoi vì MF = FN và MA vuông góc với CF. d) Để tứ giác BECM là hình chữ nhật, ta cần chứng minh BC = EM và MB vuông góc với CE. Vì tam giác ABC cân tại A, ta có AM = BM. Ta đã chứng minh cạnh CE = AM = BM, suy ra BC = EM. Vì MN là đường thẳng song song với AB và MN cắt CE tại E, ta có CE vuông góc với AB. Suy ra MB vuông góc với CE, do đó tứ giác BECM là hình chữ nhật. Tóm lại, điều kiện để tứ giác ABC đều là tam giác cân tại A, ME = EM, và CE vuông góc với AB.