Một số học sinh dự thi học sinh giỏi Toán tại trường A. Trường thiết kế một số phòng thi thì dư 5 học sinh. Nếu xếp 27 học sinh một phòng thi thì phòng cuối cùng có 17 học sinh. Tính số học sinh dự thi

Gọi số học sinh dự thi là x.

Theo đề bài, số học sinh dự thi khi chia cho số phòng thi thì dư 5, tức là x ≡ 5 (mod n), với n là số phòng thi.

Đề bài cũng cho biết nếu xếp 27 học sinh vào một phòng thi thì phòng cuối cùng có 17 học sinh. Tức là nếu chia x cho 27 thì dư 17, tức là x ≡ 17 (mod 27).

Ta có hệ phương trình:
x ≡ 5 (mod n)
x ≡ 17 (mod 27)

Áp dụng định lý số dư Trung Hoa, ta có:
x ≡ 5 (mod n)
x ≡ 17 (mod 27)
=> x ≡ 5 (mod n) và x ≡ 17 (mod 27)
=> x ≡ 5 (mod n) và x ≡ 17 (mod 3^3)

Vì 3^3 = 27, nên ta có:
x ≡ 5 (mod n) và x ≡ 17 (mod 3^3)

Theo định lý số dư Trung Hoa, hệ phương trình này có nghiệm duy nhất modulo n * 3^3 = n * 27.

Vì x là số học sinh dự thi, nên x > 0. Ta có:
5 ≤ x ≤ n * 27 - 1

Để tìm số học sinh dự thi, ta thử từng giá trị của n và kiểm tra xem có giá trị nào thỏa mãn điều kiện trên không.

Với n = 1, ta có:
5 ≤ x ≤ 27 - 1
5 ≤ x ≤ 26
Không có giá trị nào thỏa mãn.

Với n = 2, ta có:
5 ≤ x ≤ 2 * 27 - 1
5 ≤ x ≤ 53
Không có giá trị nào thỏa mãn.

Với n = 3, ta có:
5 ≤ x ≤ 3 * 27 - 1
5 ≤ x ≤ 80
Giá trị x = 17 thỏa mãn.

Vậy số học sinh dự thi là 17.