Để giải phương trình này, ta cần hoàn thành hình vuông của biểu thức x^2 + 2x và y^2 + 4y.

Đối với x^2 + 2x, ta thêm (2/2)^2 = 1 vào cả hai vế của phương trình:
x^2 + 2x + 1 - 1 - y^2 + 4y - 3 = 0
(x + 1)^2 - 1 - y^2 + 4y - 3 = 0
(x + 1)^2 - y^2 + 4y - 4 = 0

Đối với y^2 + 4y, ta thêm (4/2)^2 = 4 vào cả hai vế của phương trình:
(x + 1)^2 - y^2 + 4y + 4 - 4 = 0
(x + 1)^2 - (y + 2)^2 = 0

Bây giờ, ta có một khai triển khác của công thức khai triển khối đa thức:
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Áp dụng công thức này, ta có:
[(x + 1) - (y + 2)][(x + 1) + (y + 2)] = 0
(x + 1 - y - 2)(x + 1 + y + 2) = 0
(x - y - 1)(x + y + 3) = 0

Vậy, phương trình ban đầu có hai giải pháp:
x - y - 1 = 0 hoặc x + y + 3 = 0

Giải phương trình đầu tiên:
x - y - 1 = 0
x = y + 1

Giải phương trình thứ hai:
x + y + 3 = 0
x = -y - 3

Vậy, hai giải pháp của phương trình ban đầu là:
x = y + 1 hoặc x = -y - 3.