a) Ta có \(MN\) là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh \(AB\) và \(BC\) của hình vuông. Do đó, \(MN\) là đoạn thẳng chính giữa \(AB\) và \(BC\), tức là \(MN\) song song với \(AD\) và \(NC\). Khi \(DN\) là đoạn thẳng nối \(D\) và \(N\), và \(CM\) là đoạn thẳng nối \(C\) và \(M\), ta thấy rằng \(DN\) và \(CM\) là hai đoạn thẳng chính giữa hai cạnh không liền của hình vuông, và do đó, chúng là song song với nhau. Hai đoạn thẳng song song và chính giữa cạnh của hình vuông tạo ra góc vuông. Vì vậy, \(DN\) vuông góc với \(CM\).

b) Ta có \(AD\) là đoạn thẳng nối \(A\) và \(D\), \(CE\) là đoạn thẳng nối \(C\) và \(E\), và \(AE\) là đoạn thẳng nối \(A\) và \(E\). Áp dụng định lí cạnh của tam giác, ta có \(AD + DE = AE\). Tuy nhiên, vì \(DE = EC\), nên \(AD + EC = AE\). Nhưng \(AD + EC\) chính là đoạn \(AC\), do đó \(AC = AE\). Vậy, \(AD + CE = AE\).

c) Vì \(HK\) vuông góc với \(DC\) tại \(K\), và \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(HK\), nên \(IK\) là đoạn thẳng nối \(I\) và \(K\) và \(IH\) là đoạn thẳng nối \(I\) và \(H\). Do \(HK\) vuông góc với \(DC\), ta có \(IH\) vuông góc với \(DC\), và vì \(DC\) là một cạnh của hình vuông, nên \(IH\) cũng vuông góc với \(DC\). Đồng thời, \(HK\) là đoạn thẳng nối \(H\) và \(K\), và \(IC\) là đoạn thẳng nối \(I\) và \(C\). Vì \(HK\) song song với \(IC\) (vì cả hai đều vuông góc với \(DC\)), nên \(IH\) cũng song song với \(IC\). Khi hai đoạn thẳng song song có một đoạn thẳng chung, tức là \(IH\) và \(IC\) có một đoạn thẳng chung, và vì \(I\) là điểm nằm trên \(AC\), nên \(IH = IK\).