a) Ta có ∆BMA vuông tại M và ∆BMN vuông tại N (do BM là phân giác của góc B). Ta cần chứng minh ∆BMA = ∆BMN.
Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh BA = BN và góc BMA = góc BMN.

Vì BA = BN (theo đề bài), nên ta có BA = BN.
Ta cũng có góc BMA = góc BMN (do BM là phân giác của góc B).

Vậy ta có ∆BMA = ∆BMN.

b) Ta cần chứng minh MA = MN.
Vì BA = BN (theo đề bài), nên ta có ∆BAN cân tại A.
Do đó, ta có góc BAN = góc BNA.

Ta cũng có góc BMA = góc BMN (do BM là phân giác của góc B).

Vậy ta có ∆BMA = ∆BMN.
Từ đó, ta có MA = MN.

c) Ta cần chứng minh AH // MN và góc BMN = góc AKM.
Vì BM là phân giác của góc B, nên ta có góc BMA = góc AMN.
Vì BM cắt AH tại K, nên ta có góc BMK = góc AMN.

Vì ∆BMA = ∆BMN (đã chứng minh ở câu a), nên ta có góc BMA = góc BMN.
Từ đó, ta có góc BMK = góc AKM.

Vậy ta có AH // MN và góc BMN = góc AKM.

d) Ta cần chứng minh AB = BD và CD vuông góc với BD.
Vì HA = HD (theo đề bài), nên ta có ∆HAD cân tại A.
Do đó, ta có góc HAD = góc HDA.

Vì AH cắt BM tại K, nên ta có góc BMK = góc AKM.

Vì BM là phân giác của góc B, nên ta có góc BMA = góc AMN.

Từ đó, ta có góc BMA = góc BMN = góc AMN = góc BMK = góc AKM.

Vậy ta có góc HAD = góc HDA = góc AKM.

Vì góc HAD = góc HDA = góc AKM, nên ta có AH // MN.

Vì AH // MN, nên ta có góc BMN = góc AKM.

Vậy ta có AB = BD và CD vuông góc với BD.