1) Ta có tam giác ABC là tam giác đều với góc BAC = 60°. Vì tam giác đều nên ta có BOC = 2 * BAC = 120°.

Để tính độ dài BC, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC:
BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(BAC)
Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên AB = AC = R.
BC² = R² + R² - 2 * R * R * cos(60°)
BC² = 2R² - 2R² * cos(60°)
BC² = 2R² - R²
BC² = R²
BC = R

Vậy số đo BOC là 120° và độ dài BC là R.

2) a) Ta cần chứng minh BD//AH.
Gọi E là giao điểm của BD và AH.
Ta có:
∠BAC = 60° (điều kiện đề bài)
∠BAE = ∠CAE = 90° (đường cao trong tam giác ABC)
Vậy tam giác BAE và tam giác CAE là tam giác vuông cân.
Do đó, AE là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên AE cắt BC ở trung điểm của BC.
Vậy BD//AH.

b) Ta cần chứng minh ADBH là hình chữ nhật.
Gọi F là giao điểm của AD và BH.
Ta có:
∠BAF = ∠DAF = 90° (đường cao trong tam giác ADB)
∠ABF = ∠ADF = 90° (đường cao trong tam giác ABH)
Vậy tam giác ADF và tam giác ABF là tam giác vuông.
Do đó, AD và AB là đường cao của tam giác ADB và tam giác ABH.
Vậy ADBH là hình chữ nhật.

c) Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
∠BAC = 60° (điều kiện đề bài)
∠BMC = 180° - ∠BAC = 180° - 60° = 120° (tổng các góc trong tam giác)
Vậy tam giác BMC là tam giác đều.
Do đó, BM = MC = BC/2 = R/2.
Vì ADBH là hình chữ nhật, nên AH = BD = BM = R/2.

Vậy độ dài AH là R/2.