Cho tam giác cân ABC( AB=AC)

Để chứng minh A) I là trung điểm của MN, ta cần chứng minh rằng MI = IN.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ E.

Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác cân nên AM = AN.
- Vì BD = CE nên DM = EN.
- Vì DH ⊥ BC và EH ⊥ BC nên DH || EH.
- Vì DH ⊥ AM và EH ⊥ AN nên DH || EH || MN.
- Vì DH ⊥ BC và EH ⊥ BC nên DH ⊥ EH.
- Vì DH ⊥ AM và EH ⊥ AN nên DH ⊥ EH ⊥ MN.
- Vì DH || EH || MN nên DH ⊥ MN.

Do đó, DH là đường cao của tam giác DMN.

Vậy, ta có:
- DH ⊥ MN và DH là đường cao của tam giác DMN nên DH là đường cao kẻ từ I của tam giác DMN.
- MI = IN (do DH là đường cao kẻ từ I của tam giác DMN) nên I là trung điểm của MN.

Vậy, A) I là trung điểm của MN đã được chứng minh.

Để chứng minh B) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC, ta cần chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định trên đường thẳng BC.

Gọi K là giao điểm của đường thẳng vuông góc với MN tại I và đường thẳng BC.

Ta có:
- Vì MI = IN nên đường thẳng vuông góc với MN tại I là đường trung trực của MN.
- Vì I là trung điểm của MN nên đường trung trực của MN là đường thẳng đi qua I và vuông góc với MN.
- Vậy, đường thẳng vuông góc với MN tại I là đường thẳng đi qua I và là đường trung trực của MN.

Do đó, đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định trên đường thẳng BC.

Vậy, B) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC đã được chứng minh.