Để tìm stn n sao cho phân số $\frac{2n+3}{4n+1}$ là phân số tối giản, ta cần tìm một số nguyên dương n sao cho 2n+3 và 4n+1 không có ước chung ngoài 1.

Ta có thể sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất của hai số này. Áp dụng thuật toán Euclid, ta có:

$4n+1 = 2(2n+3) - (6)$

$2n+3 = 6 - (4n+1)$

Tiếp tục áp dụng thuật toán Euclid, ta có:

$6 = 2(2) + (2)$

$2 = 2(1) + (0)$

Do đó, ước chung lớn nhất của 2n+3 và 4n+1 là 2.

Để phân số $\frac{2n+3}{4n+1}$ là phân số tối giản, ta cần 2n+3 và 4n+1 không có ước chung ngoài 1. Vì vậy, ta cần ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Từ đó, ta có phương trình:

$2n+3 = 2k$

$4n+1 = 2k+1$

Trong đó k là một số nguyên dương.

Giải phương trình trên, ta có:

$2n = 2k - 3$

$4n = 2k$

$4n+1 = 2k+1$

Từ đó, ta có:

$2k - 3 + 1 = 2k + 1$

$-2 = 1$

Phương trình trên không có nghiệm.

Vậy không tồn tại số nguyên dương n sao cho phân số $\frac{2n+3}{4n+1}$ là phân số tối giản.