Trong hệ trục tọa độ Oxy cho A(1;2) ; B(0 ;4) ; C(3 ; -2). a, Tìm tọa độ trực tâm H, chân đường vuông góc K hạ từ A, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

a) Để tìm tọa độ trực tâm H, ta cần tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB và tọa độ chân đường vuông góc K hạ từ A.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) = ((1 + 0)/2, (2 + 4)/2) = (1/2, 6/2) = (1/2, 3).

Đường thẳng vuông góc AB qua điểm A có phương trình là x = 1.

Để tìm tọa độ chân đường vuông góc K hạ từ A, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng x = 1 và đường thẳng AB.

Đường thẳng AB có phương trình là y = mx + c, với m là hệ số góc và c là hệ số tự do.

Từ tọa độ của hai điểm A và B, ta có hệ phương trình:
2 = m + c
4 = 0 + c

Giải hệ phương trình trên, ta có m = 2 và c = 4.

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 2x + 4.

Để tìm giao điểm của đường thẳng x = 1 và đường thẳng AB, ta thay x = 1 vào phương trình đường thẳng AB:
y = 2(1) + 4 = 6.

Vậy tọa độ chân đường vuông góc K hạ từ A là (1, 6).

Để tìm tọa độ trực tâm H, ta cần tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AH và tọa độ chân đường vuông góc K hạ từ A.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AH là ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) = ((1 + 1)/2, (2 + 6)/2) = (1, 8/2) = (1, 4).

Vậy tọa độ trực tâm H là (1, 4).

Để tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta cần tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng BC.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng BC là ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) = ((0 + 3)/2, (4 + (-2))/2) = (3/2, 2/2) = (3/2, 1).

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (3/2, 1).

b) Để tìm tọa độ hai điểm E và F sao cho tứ giác ABEF là hình vuông, ta cần tìm tọa độ của hai điểm đó.

Vì ABEF là hình vuông, nên độ dài các cạnh của nó bằng nhau.

Độ dài cạnh AB là √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((0 - 1)² + (4 - 2)²) = √((-1)² + 2²) = √(1 + 4) = √5.

Độ dài cạnh AE cũng bằng √5.

Vì AE vuông góc với AB, nên tọa độ của E là (x₁ - √5, y₁ + √5) = (1 - √5, 2 + √5).

Độ dài cạnh EF cũng bằng √5.

Vì EF vuông góc với AE, nên tọa độ của F là (x₁ - √5, y₁ + √5) = (1 - √5, 2 + √5).

Vậy tọa độ hai điểm E và F là (1 - √5, 2 + √5).