a) Ta có góc ABC = 2 góc ACB, suy ra góc BAC = 90°/3 = 30°.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BCA = 90° - 30° = 60°.
Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến, suy ra DH = HB.
Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên đường cao AH cũng là đường phân giác góc BAC, suy ra HE song song với AC.

Vậy ta có DH = HB và HE song song với AC.

b) Ta có tam giác ABC là tam giác đều, suy ra BC = AC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AC^2 = AB^2 + BC^2.
Suy ra BC^2 = AC^2 - AB^2 = AC^2 - AD^2 (vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB = AD).
Do đó, HE^2 = AC^2 - AD^2.

Vậy HE^2 = AC^2 - AD^2.

c) Gọi N là trung điểm của AC.
Ta có tam giác ABC là tam giác đều, suy ra AN = NC = AC/2.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 30°, suy ra góc NAC = 30°/2 = 15°.
Vì tam giác ABC là tam giác đều, suy ra góc BCA = 60°, suy ra góc ACB = 180° - 90° - 60° = 30°.
Vậy góc NCA = 180° - 30° - 15° = 135°.

Ta có góc MCA = góc NCA = 135°.
Vì tam giác ABC là tam giác đều, suy ra góc BAC = 30°, suy ra góc MAC = 180° - 90° - 30° = 60°.
Vậy góc MCA = góc MAC = 60°.

Do đó, tam giác MCA là tam giác cân tại M.
Vậy MA = MC.

Ta có IA + IM + IC = IA + IC + MA + MC = AC + AC = 2AC.

Vì tam giác ABC là tam giác đều, suy ra AC = BC.
Do đó, IA + IM + IC = 2AC = 2BC > 3/2 AC.

Vậy IA + IM + IC > 3/2 AC.