Cho tam giác ABC nhọn(AB

Để chứng minh MH vuông góc PQ, ta sẽ sử dụng định lí về trực tâm và đường trung trực.

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AH. Ta có:
- Vì M là trung điểm BC nên BM = MC.
- Vì H là trực tâm tam giác ABC nên AH = 2OM.
- Vì HQ = HP nên tam giác HPQ là tam giác cân tại H.

Ta cần chứng minh MH vuông góc PQ, tức là MH ⊥ PQ.
Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh MH là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng PQ. Ta cần chứng minh MN ⊥ PQ.
Ta có:
- Vì N là trung điểm của đoạn thẳng PQ nên PN = NQ.
- Vì tam giác HPQ là tam giác cân tại H nên PH = QH.

Do đó, ta có tam giác PHN và tam giác QHN là hai tam giác cân cùng có cạnh chung PQ.
Vì vậy, ta có PH = QH và PN = NQ.

Áp dụng định lí về đường trung trực, ta có MN là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Vì M là trung điểm BC nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó, ta có MN ⊥ BC.

Từ đó, ta suy ra MN ⊥ PQ và MH ⊥ PQ.
Vậy ta đã chứng minh MH vuông góc PQ.